a＋b
1．基本不等式ab≤
2
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． ba
(2)＋≥2(a，b同号)． ab(3)ab≤
a＋b2
2 (a，b∈R)．
a2＋b2a＋b2(4)≥22 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数
a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个
2正数的几何平均数不大于它们的算术平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2p.(简记：积定和最小) p2
(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)
4【思考辨析】
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
1
(1)函数y＝x＋的最小值是2.( × )
x(2)函数f(x)＝cos x＋
4π
，x∈(0，)的最小值等于4.( × ) cos x2
xy
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( × )
yx1
(4)若a>0，则a3＋2的最小值为2a.( × )
a
a＋b
(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥ab有相同的成立条件．( × )
2
1．(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________． 答案 81
x＋y
解析 ∵x>0，y>0，∴≥xy，
2
x＋y
即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.
2
x2＋y2
2．若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________．
x－y答案 4
x2＋y2x－y2＋2xy4
解析 由log2x＋log2y＝1得xy＝2，又x>y>0，所以x－y>0，＝＝x－y＋x－yx－yx－y≥2x2＋y24
x－y·＝4，当且仅当x－y＝2，即x＝1＋3，y＝3－1时取等号，所以的x－yx－y
最小值为4.
1
3．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝________.
x－2答案 3
1
解析 当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2
x－2＝
1
x－2×＋2＝4，当且仅当x－2
x－2
1
(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3. x－2
4．(教材改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2. 答案 25
解析 设矩形的一边为x m， 1
则另一边为×(20－2x)＝(10－x)m，
2x＋10－x
∴y＝x(10－x)≤[]2＝25，
2当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
5．(教材改编)已知x，y∈R，且x＋4y＝1，则xy的最大值为________． 答案
1 16
＋
11
解析 1＝x＋4y≥24xy＝4xy，∴xy≤()2＝，
416
1
当且仅当x＝4y＝，即
2
1y＝8
1x＝2
时，(xy)max＝
1. 16
题型一 利用基本不等式求最值
命题点1 配凑法求最值
51
例1 (1)已知x<，则f(x)＝4x－2＋的最大值为________．
44x－5x2＋2
(2)函数y＝(x>1)的最小值为________．
x－1x－1
(3)函数y＝的最大值为________．
x＋3＋x－11
答案 (1)1 (2)23＋2 (3) 55
解析 (1)因为x<，所以5－4x>0，
4
11
则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.
4x－55－4x1
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．
5－4x1
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
4x－5
x2＋2x2－2x＋1＋2x－2＋3(2)y＝＝ x－1x－1x－12＋2x－1＋3＝ x－13
＝(x－1)＋＋2≥23＋2.
x－1
3
当且仅当(x－1)＝，即x＝3＋1时，等号成立．
x－1(3)令t＝
x－1≥0，则x＝t2＋1，
tt
所以y＝2＝2. t＋1＋3＋tt＋t＋4当t＝0，即x＝1时，y＝0； 1
当t>0，即x>1时，y＝，
4t＋＋1t
4
因为t＋≥24＝4(当且仅当t＝2时取等号)，
t11
所以y＝≤，
45t＋＋1t
1
即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．
5
思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
命题点2 常数代换或消元法求最值
例2 (1)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________． 1|a|
(2)(高考改编题)设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．
2|a|b答案 (1)5 (2)－2
13
解析 (1)方法一 由x＋3y＝5xy可得＋＝1，
5y5x
13
∴3x＋4y＝(3x＋4y)(＋)
5y5x943x12y1312＝＋＋＋≥＋＝5. 555y5x55
3x12y1
(当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立)，
5y5x2∴3x＋4y的最小值是5. 方法二 由x＋3y＝5xy得x＝1
∵x>0，y>0，∴y>，
5
19413y－＋＋－4y
5559y
∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y
5y－15y－1139113
＝＋·＋4(y－)≥＋255155
y－5
15
36
＝5， 253y
， 5y－1
1
当且仅当y＝时等号成立，∴(3x＋4y)min＝5.
2(2)∵a＋b＝2，
1|a|2|a|a＋b|a|∴＋＝＋＝＋ 2|a|b4|a|b4|a|b＝
ab|a|a＋＋≥＋24|a|4|a|b4|a|
b|a|a
×＝＋1， 4|a|b4|a|
b|a|
当且仅当＝时等号成立．
4|a|b又a＋b＝2，b>0， ∴当b＝－2a，a＝－2时，
1|a|
＋取得最小值． 2|a|b
思维升华 条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
11m－
(1)已知x，y∈(0，＋∞)，2x3＝()y，若＋(m>0)的最小值为3，则m＝________.
2xy
(2)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 答案 (1)4 (2)6
1
解析 (1)由2x－3＝()y得x＋y＝3，
21m11m＋＝(x＋y)(＋) xy3xy1ymx＝(1＋m＋＋) 3xy1
≥(1＋m＋2m)， 3ymx
(当且仅当＝时取等号)
xy1
∴(1＋m＋2m)＝3， 3解得m＝4.
9－3y
(2)由已知得x＝. 1＋y方法一 (消元法) ∵x>0，y>0，∴y<3， 9－3y3y2＋9
∴x＋3y＝＋3y＝
1＋y1＋y
31＋y2－61＋y＋1212
＝＝＋(3y＋3)－6
1＋y1＋y≥212·3y＋3－6＝6， 1＋y
12
当且仅当＝3y＋3，
1＋y即y＝1，x＝3时，(x＋3y)min＝6. 方法二 ∵x>0，y>0，
11x＋3y2
9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·()，
332当且仅当x＝3y时等号成立． 设x＋3y＝t>0，则t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t>0，∴t≥6.
故当x＝3，y＝1时，(x＋3y)min＝6.
题型二 基本不等式与学科知识的综合
命题点1 用基本不等式求解与其他知识结合的最值问题
41
例3 (1)已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小bc值是________．
11
(2)已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．
ab答案 (1)9 (2)4
解析 (1)圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程， 得x2＋(y－1)2＝6， 所以圆心为C(0,1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C， 所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1. 41414cb
因此＋＝(b＋c)(＋)＝＋＋5.
bcbcbc因为b，c>0， 4cb所以＋≥2bc
4cb
·＝4. bc
4cb
当且仅当＝时等号成立．
bc
2141
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9.
33bc11
(2)由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，
ab
∴m＋n＝2(a＋b)≥4ab＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 命题点2 求参数的值或取值范围
31m
例4 已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为________．
aba＋3b答案 12
31m
解析 由＋≥
aba＋3b
319ba
得m≤(a＋3b)(＋)＝＋＋6.
abab
9ba
又＋＋6≥29＋6＝12， ab∴m≤12，∴m的最大值为12.
思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．
(1)已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得
14
aman＝4a1，则＋的最小值为________．
mn
x2＋ax＋11
(2)已知函数f(x)＝(a∈R)，若对于任意x∈N*，f(x)≥3恒成立，则a的取值范围是
x＋1________________________________________________________________________． 38
答案 (1) (2)[－，＋∞)
23
解析 (1)由各项均为正数的等比数列{an}满足a7＝a6＋2a5，可得a1q6＝a1q5＋2a1q4， 所以q2－q－2＝0， 解得q＝2或q＝－1(舍去)． 因为aman＝4a1，所以qm＋n－2＝16， 所以2m＋n－2＝24，所以m＋n＝6. 14114
所以＋＝(m＋n)(＋)
mn6mn1n4m＝(5＋＋) 6mn1
≥(5＋26
n4m3·)＝. mn2
n4m
当且仅当＝时，等号成立，
mn143故＋的最小值等于. mn2(2)对任意
x∈N*，f(x)≥3
x2＋ax＋118
恒成立，即≥3恒成立，即知a≥－(x＋)＋3.
xx＋1
817
设g(x)＝x＋，x∈N*，则g(2)＝6，g(3)＝.
x3∵g(2)>g(3)，∴g(x)min＝
1788
.∴－(x＋)＋3≤－， 3x3
88
∴a≥－，故a的取值范围是[－，＋∞)．
33
题型三 不等式的实际应用
例5 运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100(单位：x2
千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋)升，司机的工资是每小时
36014元．
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 130
解 (1)设所用时间为t＝(h)，
x
130x2130
y＝×2×(2＋)＋14×，x∈[50,100]．
x360x
130×182×130所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝＋x，x∈[50,100]．
x3602 34013
(或y＝＋x，x∈[50,100])．
x18130×182×130
(2)y＝＋x≥2610，
x360130×182×130
当且仅当＝x，
x360即x＝1810，等号成立．
故当x＝1810千米/时时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元． 思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值． (3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．
某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，
1
当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋
310 000
－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售x完．
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0 L(x)＝1 000x×0.05－(x2＋10x)－250 31 ＝－x2＋40x－250. 3当x≥80时， L(x)＝1 000x×0.05－(51x＋10 000 ＝1 200－(x＋)． x 10 000 －1 450)－250 x ∴L(x)＝10 000 1 200－x＋x≥80.x 1 －x2＋40x－2500 (2)当0 即当x＝60时，L(x)最大＝950(万元)． 10 000 当x≥80时，L(x)＝1 200－(x＋) x≤1 200－210 000＝1 000(万元)， 当且仅当x＝100时，L(x)最大＝1 000(万元)， 综上所述，当x＝100时，年获利最大． 9．忽视最值取得的条件致误 12 典例 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值是________． xy3 (2)函数y＝1－2x－(x<0)的最小值为________． x 12 易错分析 (1)多次使用基本不等式，忽略等号成立的条件．如：1＝＋≥2xy≥22，∴x＋y≥2xy≥42，得(x＋y)min＝42. 2，∴xyxy 3 (2)没有注意到x<0这个条件误用基本不等式得2x＋≥26. x解析 (1)∵x>0，y>0， 12 ∴x＋y＝(x＋y)(＋) xy y2x ＝3＋＋≥3＋22(当且仅当y＝2x时取等号)， xy∴当x＝2＋1，y＝2＋2时，(x＋y)min＝3＋22. 33 (2)∵x<0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋(－)≥1＋2 xx－ 6 时取等号，故y的最小值为1＋26. 2 3 －2x·＝1＋26，当且仅当x＝ －x 答案 (1)3＋22 (2)1＋26 温馨提醒 (1)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件； (2)尽量避免多次使用基本不等式，若必须多次使用，一定要保证等号成立的条件一致． [方法与技巧] 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点． 2．对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，a＋ba2＋b2a＋b 2 例如：ab≤()≤，ab≤≤ 222立的条件和等号成立的条件． m 3．对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋(m>0)的单调性． x[失误与防范] 1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可． 2．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致． a2＋b2 (a>0，b>0)等，同时还要注意不等式成2 A组 专项基础训练 (时间：30分钟) 1．下列不等式一定成立的是________． 1 ①lg(x2＋)>lg x(x>0)； 4 1 ②sin x＋≥2(x≠kπ，k∈Z)； sin x③x2＋1≥2|x|(x∈R)； ④ >1(x∈R)． x2＋11 答案 ③ 11 解析 当x>0时，x2＋≥2·x·＝x， 421 所以lg(x2＋)≥lg x(x>0)， 4故①不正确； 运用基本不等式时需保证“一正”“二定“三相等”， 而当x≠kπ，k∈Z时，sin x的正负不定， 故②不正确； 由基本不等式可知，③正确； 1 当x＝0时，有2＝1，故④不正确． x＋1 ab 2．设非零实数a，b，则“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2成立”的__________条件． ba答案 必要不充分 解析 因为a，b∈R时，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0， ab 即a2＋b2≥2ab，而＋≥2⇔ab>0， ba ab 所以“a2＋b2≥2ab”是“＋≥2成立”的必要不充分条件． ba14 3．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________． ab9答案 2 14114 解析 依题意，得＋＝(＋)·(a＋b) ab2ab 1b4a1 ＝[5＋(＋)]≥(5＋22ab2a＋b＝2， b4a 当且仅当a＝b，a>0，b>0，149 即＋的最小值是. ab2 b4a9 ·)＝， ab2 24 即a＝，b＝时取等号， 33 4．(2014·重庆改编)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是________． 答案 7＋43 ab>0， 解析 由题意得ab≥0， 3a＋4b>0，又log4(3a＋4b)＝log2ab， 所以log4(3a＋4b)＝log4ab， 43 所以3a＋4b＝ab，故＋＝1. ab433a4b 所以a＋b＝(a＋b)(＋)＝7＋＋ abba≥7＋2 3a4b·＝7＋43， ba a>0，所以 b>0. 3a4b 当且仅当＝时取等号． ba 5．已知正数x，y满足x＋2y－xy＝0，则x＋2y的最小值为________． 答案 8 21 解析 由x＋2y－xy＝0，得＋＝1，且x>0，y>0. xy214yx ∴x＋2y＝(x＋2y)×(＋)＝＋＋4≥4＋4＝8. xyxy 6．规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b＝ab＋a＋b(a、b为正实数)．若1⊗k＝3，则k的值为________，此时函数f(x)＝答案 1 3 解析 1⊗k＝k＋1＋k＝3，即k＋k－2＝0， k⊗x 的最小值为________． x ∴k＝1或k＝－2(舍去)． ∴k＝1. f(x)＝ x＋x＋11⊗x1＝＝1＋x＋≥1＋2＝3， xxx 1 ，即x＝1时等号成立． x 当且仅当x＝ 7．已知x>0，y>0，且4xy－x－2y＝4，则xy的最小值为________． 答案 2 解析 ∵x>0，y>0，x＋2y≥22xy， ∴4xy－(x＋2y)≤4xy－22xy， ∴4≤4xy－22xy， 即(2xy－2)(2xy＋1)≥0， ∴2xy≥2，∴xy≥2. 1119 8．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是________． aba－1b－1答案 6 11a19 解析 ∵正数a，b满足＋＝1，∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1，所以＋＝aba－1a－1b－1191 ＋＝＋9(a－1)≥2 aa－1a－1－1a－1等号成立，所以最小值为6. 2 9．若当x>－3时，不等式a≤x＋恒成立，则a的取值范围是________． x＋3答案 (－∞，22－3] 22 解析 设f(x)＝x＋＝(x＋3)＋－3， x＋3x＋3因为x>－3，所以x＋3>0， 故f(x)≥2 2x＋3×－3＝22－3， x＋3 114·9a－1＝6，当且仅当＝9(a－1)，即a＝时3a－1a－1 当且仅当x＝2－3时等号成立， 所以a的取值范围是(－∞，22－3]． 10．若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________． 答案 (－∞，－8] 4 解析 分离变量得－(4＋a)＝3x＋x≥4，得a≤－8. 311．(2015·南通二模)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； 11 (2)求＋的最小值． xy解 (1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20， ∴210xy≤20，xy≤10， 当且仅当2x＝5y时，等号成立． 2x＋5y＝20，x＝5，因此有解得 2x＝5y，y＝2， 此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0， 11112x＋5y ＋·∴＋＝ xyxy205y2x11 7＋＋≥7＋2 ＝xy20207＋210＝， 20 5y2x 当且仅当＝时，等号成立． xy 5y2x· xy 2x＋5y＝20，由5y2xx＝y， 1010－20 x＝3，解得 20－410y＝3. 7＋21011 ∴＋的最小值为. xy20 B组 专项能力提升 (时间：20分钟) 12．设x，y均为正实数，且答案 16 33解析 由＋＝1得xy＝8＋x＋y， 2＋x2＋y∵x，y均为正实数， ∴xy＝8＋x＋y≥8＋2xy(当且仅当x＝y时等号成立)， 即xy－2xy－8≥0，解得xy≥4， 即xy≥16，∴xy的最小值为16. m2＋1 13．已知m>0，a1>a2>0，则使得≥|aix－2|(i＝1,2)恒成立的x的取值范围是 m________________________________________________________________________． 4 答案 [0，] a1 m2＋11 解析 因为＝m＋≥2(当且仅当m＝1时等号成立)， mm所以要使不等式恒成立， 则2≥|aix－2|(i＝1,2)恒成立， 即－2≤aix－2≤2，所以0≤aix≤4， 因为a1>a2>0， 33 ＋＝1，则xy的最小值为________． 2＋x2＋y 所以4 0≤x≤，a 2 40≤x≤，a1 4 即0≤x≤， a1 4 所以使不等式恒成立的x的取值范围是[0，]． a1 14．已知x，y∈R且满足x2＋2xy＋4y2＝6，则z＝x2＋4y2的取值范围为________． 答案 [4,12] x2＋4y2 解析 ∵2xy＝6－(x2＋4y2)，而2xy≤， 2x2＋4y2 ∴6－(x2＋4y2)≤， 2 ∴x2＋4y2≥4(当且仅当x＝2y时取等号)． 又∵(x＋2y)2＝6＋2xy≥0， 即2xy≥－6，∴z＝x2＋4y2＝6－2xy≤12 (当且仅当x＝－2y时取等号)． 综上可知4≤x2＋4y2≤12. 11 15．设a>0，b>0，若3是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为________． ab答案 4 解析 由题意知3a·3b＝3，即3a＋b＝3， ∴a＋b＝1，∵a>0，b>0， 1111＋(a＋b) ∴＋＝ababba ＝2＋＋≥2＋2 ab ba·＝4， ab 1 当且仅当a＝b＝时，等号成立． 2 16．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅1 游人数f(t)(万人)近似地满足f(t)＝4＋，而人均消费g(t)(元)近似地满足g(t)＝120－|t－20|. t(1)求该城市的旅游日收益W(t)(万元)与时间t(1≤t≤30，t∈N*)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值． 1 解 (1)W(t)＝f(t)g(t)＝(4＋)(120－|t－20|) t ＝140 559＋－4t， 20 100 401＋4t＋， 1≤t≤20， t 100 ≥401＋2t1004t·＝441(t＝5时取最小值)． t 140 当t∈(20,30]时，因为W(t)＝559＋－4t递减， t 2 所以t＝30时，W(t)有最小值W(30)＝443， 3所以t∈[1,30]时，W(t)的最小值为441万元． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容