名师点金：求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证．求二次函数的表达式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的表达式，常见的表达式的基本形式有：一般式、顶点式、交点式、平移式等．
利用一般式求二次函数的表达式
1．已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)，求这个二次函数的表达式．
利用顶点式求二次函数的表达式
2．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的表达式．
利用交点式求二次函数的表达式
3．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线的表达式．
利用平移式求二次函数的表达式
4．将抛物线y＝－x2＋x－3向上平移，使平移后的抛物线经过点C(0，2)，求平移后的抛物线的表达式．
5．将抛物线y＝ax2＋bx＋c向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线y＝x2＋2x＋3，求原抛物线的表达式．(用两种方法解)
灵活运用方法求二次函数的表达式
6．(一题多解)已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线的表达式．
专项训练二：二次函数的图表信息问题
名师点金：与二次函数有关的图表信息问题主要体现在：利用二次函数解决几何图形中面积最值问题，与表格有关的费用(利润)问题，利用函数图象解决方
案最优问题．解决此类问题的方法是利用隐含的条件或相等关系、题中存在的公式等列函数表达式，再利用函数的性质解决相关问题．
利用二次函数解决几何图形面积最值问题
1．用19米长的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，CD长表示窗框的宽，EF＝0.5米(铝合金条的宽度忽略不计)．
(1)求窗框的透光面积S(平方米)与窗框的宽x(米)之间的函数表达式． (2)如何设计才能使窗框的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (3)当窗框的透光面积不小于10平方米时，直接写出x的取值范围？
(第1题)
2．如图，△ABC是边长为3 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点P运动到点B时，P，Q两点停止运动，设P点的运动时间为t(s)．
(1)当t为何值时，△PBQ是直角三角形．
(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函数表达式，当t为何值时，四边形APQC的面积最小？并求出最小值．
(第2题)
利用二次函数解决与表格有关的费用(利润)问题
3．某数学研究所门前有一个边长为4米的正方形花坛，花坛内部要用红、黄、紫三种颜色的花草种植成如图所示的图案，图案中AE＝MN.准备在形如Rt△AEH的四个全等三角形内种植红色花草，在形如Rt△MEH的四个全等三角形内种植黄色花草，在正方形MNPQ内种植紫色花草，每种花草的价格如下表：
品种 价格(元/平方米) 红色花草 黄色花草 紫色花草 60 80 120 设AE的长为x米，正方形EFGH的面积为S平方米，买花草所需的费用为W元，解答下列问题：
(1)S
与
x
之
间
的
函
数
表
达
式
为
S
＝
________________________________________________________________________；
(2)求W与x之间的函数表达式，并求所需的最低费用是多少元．
(第3题)
利用图象信息解决方案最优问题
4．(中考·南充)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系．
(1)求出y与x之间的函数表达式；
(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数表达式．若你是商场负责人，会将销售单价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？
(第4题)
专项训练三：函数中的决策问题
名师点金：函数中的决策问题通常包括两类：一是利用一次函数进行决策，二是利用二次函数进行决策．其解题思路一般是先建立一次函数(二次函数)模型，将实际问题转化为函数问题，然后利用一次函数(二次函数)的图象和性质去分析、解决问题．
利用一次函数解决决策问题
类型1：调运方案的决策
1．现从A，B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A蔬菜市场到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B蔬菜市场到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨．
(1)设从A蔬菜市场向甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
A B 运往甲地蔬菜量(吨) x 运往乙地蔬菜量(吨) (2)设总运费为W元，请写出W与x之间的函数表达式； (3)怎样调运蔬菜才能使总运费最少？
类型2：生产方案的决策
2．(中考·岳阳)某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原料制作成了100个A，B两种型号的工艺品．已知每制作一个工艺品所需甲、乙两种原料如下表：
型号 千克 原料 甲 乙 A型 0.5 0.3 B型 0.2 0.4 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品．
(1)请写出x应满足的不等式组．
(2)请你设计A，B两种型号的工艺品的所有制作方案．
(3)经市场了解，A型工艺品售价为25元/个，B型工艺品售价为15元/个．若这两种型号工艺品的销售总金额为y元，请写出y与x之间的函数表达式，并指出哪种制作方案所得销售总金额最大？求出最大销售总金额．
利用二次函数解决决策问题
类型1：顶点的横坐标在自变量取值范围内的决策问题
3．(改编·青岛)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
(1)写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数表达式；
(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大．
类型2：顶点的横坐标不在自变量取值范围内的决策问题
4．(中考·黄冈)某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1(元)与国内销售量x(千件)的关系为：y1＝15x＋90（0＜x≤2）， －5x＋130（2＜x＜6）；
若在国外市场销售，平均每件产品的利润y2(元)与国外销售量t(千件)的关系为：
100（0 －5t＋110（2≤t＜6）. (1)用含x的代数式表示t为：t＝________；当0＜x≤4时，y2与x之间的函数表达式为：y2＝________；当________ (3)该公司每年在国内、国外市场的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？ 专项训练四：思想方法荟萃 名师点金：本章涉及的主要思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、建模思想等． 数形结合思想 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的位置如图所示，则点P(a，bc)在第________象限． (第1题) (第2题) 2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中不正确的是________． ①ac>0；②当x>1时，y随x的增大而减小；③b－2a＝0；④x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根． 分类讨论思想 3．如图，抛物线y＝－x2＋5x＋n经过点A(1，0)，与y轴交于点B. (1)求抛物线的表达式； (2)P是y轴正半轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求点P的坐标． (第3题) 方程思想 4．如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴的交点为Q.过Q点的直线y＝2x＋m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B.若S△BPQ＝3S△APQ，求这个二次函数的表达式． (第4题) 建模思想 5．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元时，每个月可卖出210件．如果每件商品的售价每上涨1元，那么每个月少卖出10件(每件商品的售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围． (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ (3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2 200元？根据以上结论，请你直接写出每件商品的售价在什么范围时，每个月的利润不低于2 200元． 答案 专项训练一 1．解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， a－b＋c＝－5， 依题意得c＝－4， a＋b＋c＝1.a＝2， 解这个方程组，得b＝3， c＝－4. ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4. 点拨：若给出抛物线上任意三点的坐标，通常可设一般式求解． 2．解：设这条抛物线的表达式为y＝a(x－4)2－1，将(0，3)的坐标代入得3＝a(0－4)2－1. 解得a＝.∴这条抛物线的表达式为y＝(x－4)2－1，即y＝x2－2x＋3. 444点拨：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式求解． 3．解：由A(1，0)，B(－4，0)，可知AB＝5，OB＝4. 1 1 1 又∵BC＝AB，∴BC＝5. 在Rt△BCO中，OC＝ BC2－OB2＝52－42＝3， ∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x＋4)，将(0，3)的坐标代入，得 3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝－； 4 将(0，－3)的坐标代入，得－3＝a(0－1)(0＋4)，解得a＝. 4 333 ∴该抛物线的表达式为y＝－(x－1)(x＋4)或y＝(x－1)(x＋4)，即y＝－x2 444939 －x＋3或y＝x2＋x－3. 444 点拨：若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解． 121114．解：∵y＝－x2＋x－3＝－x－－，∴抛物线的对称轴为直线x＝. 422∵将此抛物线向上平移，∴抛物线的开口大小、方向及对称轴都不变， 12 ∴可设平移后的抛物线的表达式为y＝－x－＋a. 2192 将点C(0，2)的坐标代入，得2＝－0－＋a.解得a＝. 24129 ∴平移后的抛物线的表达式为y＝－x－＋，即y＝－x2＋x＋2. 425．解：方法一：∵y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2，∴把抛物线y＝(x＋1)2＋2向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线y＝(x＋6)2＋5＝x2＋12x＋41.∴原抛物线的表达式为y＝x2＋12x＋41. 3 3 方法二：原抛物线的表达式为y＝(x＋5)2＋2(x＋5)＋3＋3，即y＝x2＋12x＋41. 点拨：方法一是先将表达式化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”规则来求；方法二是不将表达式化成顶点式，直接利用“左加右减”在所有的x上加减，“上加下减”在常数项上加减．本题要注意逆向思考，“将未知图象平移到已知图象”转化为“将已知图象平移到未知图象”；“向右平移”转化为“向左平移”；“向下平移”转化为“向上平移”． 6．解：方法一：设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得 4 ba＝－，－2a9＝－2， 164ac－b＝4，解得b＝－9， 204a a＋b＋c＝0，c＝.9 2 1620 ∴抛物线的表达式为y＝－x2－x＋. 999 方法二：设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)2＋4，将(1，0)的坐标代入，得0＝a(1＋2)2＋4，解得 a＝－. 9 49 (x＋2)2＋4，即 y＝－ 4x2－ 1620x＋. 99 4 4 ∴抛物线的表达式为y＝－ 9 方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，与x轴的另一个交点坐标为(－5，0)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－1)(x＋5)，将点(－2，4)的坐标代入，得4＝ a(－2－1)(－2＋5)，解得a＝－. 9 ∴抛物线的表达式为y＝－(x－1)(x＋5)，即y＝－ 99 4 4x2－ 1620 x＋. 99 4 点拨：本题分别运用了一般式、顶点式和交点式求二次函数的表达式，求解二次函数的表达式时，要根据题目条件选择灵活的方法，如：第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小． 专项训练二 1．解：(1)由题意，可知AF＝BE＝CD＝x米，AB＝EF＝0.5米，BC＝GH＝DE. 19－3x－1 ∴AC＝0.5＋＝6.5－x(米)． 3∴S＝AC·CD＝(6.5－x)·x.整理，得 S＝－x2＋6.5x(0 4164 169 .即当最大值＝16 13169 CD＝AC＝米时，窗框的透光面积最大，最大透光面积是平方米． 416 (3)令 S＝10，即－x2＋6.5x＝10，解得 5 x＝或x＝4.∵函数S＝－x2＋6.5x2 5 的图象开口向下，∴当S≥10时，≤x≤4，即当窗框的透光面积不小于10平方米 2时，x的取值范围是≤x≤4. 2 2．解：(1)由题意可知，∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝t cm.若△PBQ是1 直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°.于是BQ＝BP或BP＝BQ，即t＝ 221 1 (3－t)或3－t＝t，解得t＝1或t＝2，即当t为1 s或2 s时，△PBQ是直角三22角形． (2)过点P作PM⊥BC于点M，则易知BM＝BP＝(3－t)cm，∴PM＝ 22BP2－BM2＝ 34 34 13 (3－t)cm.∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝×3×2223t＋943，即y＝ 34t2－ 343t＋943 3 3 3－t·(322 1 1 11 5 －t)＝t2－，易知0 为 s时，四边形APQC的面积最小，最小值为 cm2. 216 3．解：(1)2x2－8x＋16 (2)由题意，可知W＝60×4S△AEH＋80(S正方形EFGH－S正方形MNPQ)＋120S正方 形MNPQ＝60×4× 12 x(4－x)＋80(2x2－8x＋16－x2)＋120x2.整理，得W＝80x2－ 160x＋1 280，配方，得W＝80(x－1)2＋1 200.∴当x＝1时，W最小值＝1 200，即所需的最低费用是1 200元． 点拨：利用表格信息解决费用(利润)问题，关键要从表格中获取条件信息， 然后建立二次函数模型，最后利用二次函数的性质求最值． 4．解：(1)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)．由所给函数图象，得 130k＋b＝50，k＝－1，解得 150k＋b＝30，b＝180. ∴y与x之间的函数表达式为y＝－x＋180. (2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)，整理，得W＝－x2＋280x－18 000，配方，得W＝－(x－140)2＋1 600， ∴当x＝140时，W最大值＝1 600. ∴若我是商场负责人，会将销售单价定为140元，来保证每天获得的利润最大，最大利润是1 600元． 专项训练三 1．解：(1)如下表所示： A B 运往甲地蔬菜量(吨) x 15－x 运往乙地蔬菜量(吨) 14－x x－1 (2)W＝50x＋30(14－x)＋60(15－x)＋45(x－1)， 整理，得W＝5x＋1 275. (3)∵从A，B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送的蔬菜数量为非负数， 14－x≥0，∴解得1≤x≤14. 15－x≥0，x－1≥0. x≥0， 在W＝5x＋1 275中，∵5>0， ∴W随x的增大而增大， ∴当x＝1时，W取得最小值，为1 280. ∴从A蔬菜市场向甲地运送1吨，向乙地运送13吨，从B蔬菜市场向甲地运送14吨，才能使总运费最少． 点拨：对于决策问题，其实质是确定最佳方案，问题中所能提供的方案往往不唯一，我们可以通过结合一次函数的增减性来确定最佳方案，其关键是找出所．．．．．．．．．．有方案． 2．解：(1)根据题意列不等式组如下： 0.5x＋0.2×（100－x）≤29， 0.3x＋0.4×（100－x）≤37.2.(2)由(1)得28≤x≤30(x为整数)， ∴x可以取28，29，30. 故有以下三种制作方案： 方案一：制作A型工艺品28个，B型工艺品72个； 方案二：制作A型工艺品29个，B型工艺品71个； 方案三：制作A型工艺品30个，B型工艺品70个． (3)y＝25x＋15(100－x)＝10x＋1 500. 易知一次函数y＝10x＋1 500中，y随x的增大而增大． 故当x＝30时，y最大值＝10×30＋1 500＝1 800， 即当制作A型工艺品30个，B型工艺品70个时，所得销售总金额最大，最大销售总金额为1 800元． 点拨：解此类题时，应先正确建立函数模型，确定自变量的取值范围．设计方案时，要注意取自变量的所有整数值，再根据函数的性质求最大(小)值；还可．．．．．以算出各种方案的值进行大小比较． 3．解：(1)由题意得，销售量为250－10(x－25)＝－10x＋500(件)，则w＝(x－20)(－10x＋500)，整理，得w＝－10(x－35)2＋2 250. (2)在w＝－10(x－35)2＋2 250中，∵－10<0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x＝35时，w最大值＝2 250，即当销售单价为35元时，该文具每天的销售利润最大． 4．解：(1)6－x；5x＋80；4；6 (2)分三种情况： ①当0＜x≤2时，w＝(15x＋90)x＋(5x＋80)(6－x)＝10x2＋40x＋480； ②当2 －5x2＋30x＋600（4＜x＜6）. (3)当0＜x≤2时，w＝10x2＋40x＋480＝10(x＋2)2＋440，此时当x＝2时， w最大值＝600； 当2＜x≤4时，w＝－10x2＋80x＋480＝－10(x－4)2＋640，此时当x＝4时，w最大值＝640； 当4 专项训练四 1．三 2．①②③ 点拨：由二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得抛物线开口向上，∴a>0；抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，∴c<0，∴ac<0，①错误．由函数图象可得当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大，②错误．∵对称轴为直线x＝1，∴－ ＝1，即2a＋b＝0，③错误．由图象可得抛 2ab 物线与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，又对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(3，0)，∴x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，④正确．本题考查的是二次函数的性质，根据题意利用数形结合思想进行解答． 3．解：(1)因为点A(1，0)在抛物线y＝－x2＋5x＋n上， 所以有－1＋5＋n＝0，即n＝－4. 所以抛物线的表达式为y＝－x2＋5x－4. (2)由抛物线的表达式可知抛物线与y轴的交点为B(0，－4)，则AB＝12＋42＝17. 因为△PAB是以AB为腰的等腰三角形，点P在y轴正半轴上，所以分类讨 论如下： ①当AB＝AP时，因为OA⊥BP，所以OP＝OB，所以点P的坐标为(0，4)； ②当AB＝BP时，因为AB＝＝17－4，所以点P的坐标为(0，故点P的坐标为(0，4)或(0，17，所以BP＝17－4)． 17－4)． 17，所以OP＝BP－OB 点拨：本题运用了分类讨论思想，题目中只给出了以AB为腰，求出的点P要在y轴正半轴上，所以必须分两种情况求点P的坐标，否则就会丢解． 4．解：由题意知二次函数的图象与y轴的交点Q的坐标为(0，c)， 又∵直线y＝2x＋m过点Q，∴m＝c. y＝x2＋bx＋c，联立得 y＝2x＋c， 可得B点的坐标为(2－b，4－2b＋c)． 作BC⊥x轴于C，则BC＝4－2b＋c. ∵S△BPQ＝3S△APQ，∴S△ABP＝4S△APQ. ∵△APQ与△APB同底(AP)不等高， ∴S△APB∶S△APQ＝4∶1＝BC∶OQ. 又∵OQ＝c(c>0)，∴(4－2b＋c)∶c＝4∶1. 即2b＋3c－4＝0 ①. ∵二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴只有一个公共点，∴b2－4c＝0 ②. b＝3，b＝－4， 联立①②，解得 4c＝4.c＝，9 4 1 22 1 经检验，可知当b1＝时，抛物线的顶点在y轴左侧，不合题意，舍去． 3∴b＝－4，c＝4.∴这个二次函数的表达式为y＝x2－4x＋4. 点拨：本题用待定系数法求函数表达式时，根据图象的几何性质寻找待定系数所满足的条件，列方程或方程组求解．解题时还必须根据题目条件对结果进行检验，舍去不符合题意的解． 5．解：(1)y＝(210－10x)(50＋x－40)，整理，得y＝－10x2＋110x＋2 100(0＜x≤15，且x为整数)． (2)根据(1)中的表达式，得y＝－10(x－5.5)2＋2 402.5. ∵a＝－10<0，0 (3)当y＝2 200时，－10x2＋110x＋2 100＝2 200，解得x1＝1，x2＝10. 当x＝1时，50＋x＝51； 当x＝10时，50＋x＝60. ∴每件商品的售价定为51元或60元时，每个月的利润恰为2 200元． 每件商品的售价不低于51元且不高于60元，并且为整数时，每个月的利润不低于2 200元． 4 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容