教学目标
1．了解几何概型的定义及其特点． 2．了解几何概型与古典概型的区别．
3．会用几何概型的概率计算公式求几何概型的概率． 教学重难点
1．注意理解几何概型与古典概型的区别．
2．理解如何将实际问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解，概率公式为
P(A)＝
教学过程
构成事件A的区域长度面积或体积
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
[情境导学] 在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，例如：一个正方形方格内有一内切圆，往这个方格中投一个石子，求石子落在圆内的概率，由于石子可能落在方格中的任何一点，这个实验不能用古典概型来计算事件发生的概率．对此，我们必须学习新的方法来解决这类问题． 探究点一 几何概型的概念
思考1 计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法？
答 (1)通过做试验或计算机模拟，用频率估计概率；(2)利用古典概型的概率公式计算．
思考2 某班公交车到终点站的时间可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一粒芝麻，芝麻可能落在方格中的任何一点上．这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？ 答 出现的结果是无限个；每个结果出现的可能性是相等的．
思考3 下图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜．你认为甲获胜的概率分别是多少？
1
答 以转盘(1)为游戏工具时，甲获胜的概率为；以转盘(2)为游戏工具时，甲获
2
3
胜的概率为.
5
思考4 上述每个扇形区域对应的圆弧的长度(或扇形的面积)和它所在位置都是可以变化的，从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？
答 与扇形的弧长(或面积)有关，与扇形区域所在的位置无关．
思考5 玩转盘游戏中所求的概率就是几何概型，你能给几何概型下个定义吗？参照古典概型的特征，几何概型有哪两个基本特征？
答 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型；几何概型的基本特征：(1)可能出现的结果有无限多个；(2)每个结果发生的可能性相等． 思考6 古典概型和几何概型有什么相同点和不同点？ 答 相同点：两者基本事件发生的可能性都是相等的；
不同点：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个. 例1 判断下列试验中事件A发生的概型是古典概型，还是几何概型． (1)抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率； (2)思考3中，求甲获胜的概率．
解 (1)抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6＝36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；
(2)游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与区域面积有关，因此属于几何概型．
反思与感悟 判断一个概率是古典概型还是几何概型的步骤：(1)判断一次试验中每个基本事件发生的概率是否相等，若不相等，那么这个概率既不是古典概型也不是几何概型；(2)如果一次试验中每个基本事件发生的概率相等，再判断试验结果的有限性，当试验结果有有限个时，这个概率是古典概型；当试验结果有无限个时，这个概率是几何概型．
跟踪训练1 判断下列试验是否为几何概型，并说明理由： (1)某月某日，某个市区降雨的概率．
(2)设A为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径的概率．
解 (1)不是几何概型，因为它不具有等可能性；(2)是几何概型，因为它具有无限性与等可能性．
探究点二 几何概型的概率公式
问题 对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，那么，对于属于几何概型的试验，如何求某一事件的概率？有没有求几何概型的概率公式呢？
思考1 有一根长度为3 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段的长度都不小于1 m的概率是多少？你是怎样计算的？
答 从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点．
如上图，记“剪得两段的长都不小于1 m”为事件A.把绳子三等分，于是当剪断位1置处在中间一段上时，事件A发生．由于中间一段的长度等于绳长的，
31
于是事件A发生的概率P(A)＝.
3
思考2 射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色，靶心是金色，金色靶心叫“黄心”．奥运会射箭比赛的靶面直径是122 cm，黄心直径是12.2 cm，运动员在距离靶面70 m外射箭．假设射箭都等可能射中靶面内任何一点，那么如何计算射中黄心的概率？
122
答 如右图，由于中靶点随机地落在面积为×π×122 cm的大圆内，
4122
若要射中黄心，则中靶点落在面积为×π×12.2 cm的圆内，
412×π×12.24
所以P＝＝0.01.
12×π×1224
思考3 在装有5升纯净水的容器中放入一个病毒，现从中随机取出1升水，那么这1升水中含有病毒的概率是多少？你是怎样计算的？
1
答 概率为，由于病毒在5升水中的哪个位置的可能性都有，1升水中含有病毒
5的概率为1升水的体积除以5升水的体积．
思考4 根据上述3个思考中求概率的方法，你能归纳出求几何概型中事件A发生
的概率的计算公式吗？ 答 P(A)＝
构成事件A的区域长度面积或体积
.
试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积
例2 某公共汽车站每隔10分钟有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求乘客候车时间不超过6分钟的概率．
解 如下图所示，设上辆车于时刻T1到达，而下辆车于时刻T2到达，则线段T1T2
的长度为10，设T是线段T1T2上的点，且TT2的长为6，记“等车时间不超过6分钟”为事件A，则事件A发生即当点t落在线段TT2上，即D＝T1T2＝10，d＝TT2＝6.所以P(A)
d63＝＝＝. D105
3
故乘客候车时间不超过6分钟的概率为. 5
反思与感悟 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．利用图解题的关键：首先用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的几何区域，然后根据构成这两个区域的几何长度(面积或体积)，用几何概型概率公式求出事件A的概率．
跟踪训练2 某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率．
解 记“等待的时间小于10分钟”为事件A，打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内则事件A发生．
60－501由几何概型的概率公式求得P(A)＝＝，
6061
即“等待报时的时间不超过10分钟”的概率为.
6探究点三 几何概型的应用
例3 在Rt△ABC中，∠A＝30°，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，求使|AM|>|AC|的概率． 解
设事件D为“作射线CM，使|AM|>|AC|”． 在AB上取点C′使|AC′|＝|AC|， 因为△ACC′是等腰三角形，
180°－30°
所以∠ACC′＝＝75°，
2μA＝90－75＝15，μΩ＝90， 151
所以P(D)＝＝. 906
反思与感悟 几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为“测度”．因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的．若以长度为“测度”，就是错误的，因为M在AB上的落点不是等可能的．
跟踪训练3 在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝3，在∠BAC内作射线
AM交BC于点M，求BM<1的概率．
解 ∵∠B＝60°，∠C＝45°，∴∠BAC＝75°， 在Rt△ADB中，AD＝3，∠B＝60°， ∴BD＝
＝1，∠BAD＝30°. tan 60°
AD记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
30°2
由几何概型的概率公式得P(N)＝＝.
75°5
【当堂测、查疑缺】
1．下列关于几何概型的说法错误的是
( )
A．几何概型也是古典概型中的一种
B．几何概型中事件发生的概率与位置、形状无关 C．几何概型中每一个结果的发生具有等可能性 D．几何概型在一次试验中能出现的结果有无限个 答案 A
解析 几何概型与古典概型是两种不同的概型．
2．面积为S的△ABC，D是BC的中点，向△ABC内部投一点，那么点落在△ABD内的概率为 1A. 3答案 B
解析 向△ABC内部投一点的结果有无限个，属于几何概型．设点落在△ABD内为
( ) 1D. 6
1
B. 21
C. 4
△ABD的面积1
事件M，则P(M)＝＝. △ABC的面积2
3．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为 A.C.π
4π
8
π
B．1－ 4
( )
π
D．1－
8
答案 B
解析 若以O为圆心，1为半径作圆，则圆与长方形的公共区域内的点满足到点O的距离小于或等于1， 故所求事件的概率为P(A)＝
S长方形－S半圆π
＝1－.
S长方形4
πx12
的值介于－与之间的概率为422
4．在区间[－1,1]上随机取一个数x，则sin ________．
5
答案 6
ππxπ
解析 ∵－1≤x≤1，∴－≤≤.
4441πx2ππxπ
由－≤sin ≤，得－≤≤，
2426442
即－≤x≤1.
3
21＋35
故所求事件的概率为＝.
26作业：
习题3.3A 1,2,3
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