定积分的概念及简单应用

【选题明细表】

知识点、方法 求定积分 定积分求面积 定积分的物理应用 由定积分求参数 综合应用 基础过关

一、选择题 1.设函数f(x)=

则定积分

f(x)dx等于( C )

题号 1、2、7 4、8、13、16 3、5、12 6、9 10、11、14、15 (A) (B)2 (C) (D) 解析:

f(x)dx=

x2dx+

1dx

=x3+x=.故选C.

2.(2014厦门模拟)设函数f(x)=xm+ax的导函数f′(x)=2x+1,则f(-x)dx的值等于( A ) (A) (B) (C) (D)

解析:f′(x)=mxm-1+a=2x+1,得m=2,a=1,

所以f(x)=x2+x,所以f(-x)=x2-x, 所以

f(-x)dx=

(x2-x)dx=(x3-x2)=.故选A.

3.如果1 N的力能拉长弹簧1 cm,为了将弹簧拉长6 cm,所耗费的功为( A )

(A)0.18 J (B)0.26 J (C)0.12 J (D)0.28 J 解析:由物理知识F=kx知,1=0.01k, ∴k=100 N/m, 则W=

100xdx=50x2

=0.18(J).故选A.

4.(2014合肥模拟) 如图,由函数f(x)=ex-e的图象,直线x=2及x轴所围成的阴影部分的面积等于( B )

(A)e2-2e-1 (B)e2-2e (C)

(D)e2-2e+1 解析:由已知得S=

f(x)dx=

(ex-e)dx=(ex-ex)=(e2-2e)-(e-e)=e2-2e.故选B.

5.一质点运动时速度与时间的关系式为v(t)=t2-t+2,质点做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( A ) (A) (B) (C) (D) 解析:∵v(t)>0,

∴质点在[1,2]内的位移s即为v(t)在[1,2]上的定积分, ∴s====. 故选A.

6.(2014中山模拟)已知t>0,若(2x-1)dx=6,则t的值等于( B ) (A)2 (B)3 (C)6 (D)8

解析:(2x-1)dx=2xdx-1dx=x2-x=t2-t=6得t=3或t=-2(舍去).故选B. 二、填空题 7.(2014昆明模拟)解析:

(+)2dx=

(+)2dx= .

(x++2)dx=(x2+ln x+2x)=+ln .

v(t)dt

(t2-t+2)dt

答案:+ln

8.(2014南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy=1和直线y=x以及直线y=3的图象如图所示,曲线xy=1与直线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为 .

解析:所求区域面积为S=答案:4-ln 3

9.已知曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为,则k= . 解析:由

得

或

(3-)dx+

(3-x)dx=4-ln 3.

则曲线y=x2与直线y=kx(k>0)所围成的曲边图形的面积为(kx-x2)dx=(x2-x3)=-k3=, 即k3=8, ∴k=2. 答案:2

10.(2014成都模拟)函数y=是 .

(sin t+cos tsin t)dt的最大值

解析:y==

(sin t+cos tsin t)dt

(sin t+sin 2t)dt

=(-cos t-cos 2t) =-cos x-cos 2x+ =-cos x-(2cos2x-1)+ =-cos2x-cos x+ =-(cos x+1)2+2≤2, 当cos x=-1时取等号. 答案:2 三、解答题

11.已知f(x)为二次函数,且f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2, (1)求f(x)的解析式;

(2)求f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值. 解:(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b. 由f(-1)=2,f′(0)=0, 得

即

∴f(x)=ax2+2-a. 又

f(x)dx=

(ax2+2-a)dx

=[ax3+(2-a)x]=2-a=-2, ∴a=6,从而f(x)=6x2-4. (2)∵f(x)=6x2-4,x∈[-1,1]. ∴当x=0时,[f(x)]min=-4; 当x=±1时,[f(x)]max=2.

12.做变速直线运动的质点的速度方程是v(t)=位:m/s).

(1)求该质点从t=10 s到t=30 s时所走过的路程; (2)求该质点从开始运动到运动结束共走过的路程. 解:(1)s1=

v(t)dt=

tdt+

20dt=350(m).

(单

(2)该质点从开始到结束需100 s,走过的路程为 s2==

v(t)dt tdt+

20dt+

(100-t)dt

=1600(m).

能力提升

13.(2014珠海模拟)由曲线y=x2和直线x=0,x=1,y=t2(t为常数且t∈(0,1))所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值为( A )

(A) (B) (C) (D)

解析:由

得交点(t,t2).

故S=(t2-x2)dx+(x2-t2)dx =(t2x-x3)+(x3-t2x) =t3-t2+, 令S′=4t2-2t=0, 因为014.(2014济宁一模)如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(2,0), B(2,4),C(0,4),曲线y=ax2经过点B,现将一质点随机投入长方形OABC中,则质点落在图中阴影区域的概率是 .

解析:∵y=ax2过点B(2,4), ∴a=1,

∴所求概率为1-答案:

=1-×x3=.

15.(2014重庆模拟)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,直线l1:x=2,直线l2:y= -t2+8t(其中0≤t≤2,t为常数).若直线l1,l2与函数f(x)的图象以及l2,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如图阴影所示.

(1)求a,b,c的值;

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式.

解:(1)由题图可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16, 则

解得

(2)由(1)得f(x)=-x2+8x, 由

得x2-8x-t(t-8)=0,所以x1=t,x2=8-t. 因为0≤t≤2,

所以直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t,-t2+8t). 由定积分的几何意义知

S(t)=[(-t2+8t)-(-x2+8x)]dx+ [(-x2+8x)-(-t2+8t)]dx =[(-t2+8t)x-(-+4x2)]+ [(-+4x2)-(-t2+8t)x] =-t3+10t2-16t+.

所以S(t)=-t3+10t2-16t+(0≤t≤2).

探究创新

16.(2014武汉模拟)曲线y=x2,直线y=x,y=3x围成的图形的面积是 .

解析:作出曲线y=x2,直线y=x,y=3x的图象,所求面积为图中阴影部分的面积. 解方程组解方程组

得交点(1,1),(0,0). 得交点(3,9),(0,0),

因此,所求图形的面积为 S==

(3x-x)dx+2xdx+

(3x-x2)dx

(3x-x2)dx

=x2+(x2-x3)

=1+(×32-×33)-(×12-×13) =.

答案: