习题6

6-1 气体在平衡态时有何特征?气体的平衡态与力学中的平衡态有何不同?

答：气体在平衡态时，系统与外界在宏观上无能量和物质的交换；系统的宏观性质不随时间变化．

力学平衡态与热力学平衡态不同．当系统处于热平衡态时，组成系统的大量粒子仍在不停地、无规则地运动着，大量粒子运动的平均效果不变，这是一种动态平衡．而个别粒子所受合外力可以不为零．而力学平衡态时，物体保持静止或匀速直线运动，所受合外力为零． 6-2 气体动理论的研究对象是什么?理想气体的宏观模型和微观模型各如何?

答：气体动理论的研究对象是大量微观粒子组成的系统．是从物质的微观结构和分子运动论出发，运用力学规律，通过统计平均的办法，求出热运动的宏观结果，再由实验确认的方法．

从宏观看，在温度不太低，压强不大时，实际气体都可近似地当作理想气体来处理，压强越低，温度越高，这种近似的准确度越高．理想气体的微观模型是把分子看成弹性的自由运动的质点．

6-3 何谓微观量?何谓宏观量?它们之间有什么联系?

答：用来描述个别微观粒子特征的物理量称为微观量．如微观粒子(原子、分子等)的大小、质量、速度、能量等．描述大量微观粒子(分子或原子)的集体的物理量叫宏观量，如实验中观测得到的气体体积、压强、温度、热容量等都是宏观量．

气体宏观量是微观量统计平均的结果． 6-4 计算下列一组粒子平均速率和方均根速率?

Ni Vi(ms) 121 10.0 4 20.0 6 30.0 8 40.0 2 50.0 解：平均速率 VNVNiii

21468221104206308402508904121.7 ms1

方均根速率

V2NVNi2ii2

4202211061084032250221468225.6 ms1

6-5 速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度，

N为系统总分子数)．

（1）f(v)dv （2）nf(v)dv （3）Nf(v)dv （4）f(v)dv （5）f(v)dv （6）Nf(v)dv

0vv20v1解：f(v)：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比.

(1) f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比. (2) nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度． (3) Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)f(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数占总分子数的百分比．

0v(5)f(v)dv：表示分布在0~的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是1.

0(6)Nf(v)dv：表示分布在v1~v2区间内的分子数.

v1v26-6 最概然速率的物理意义是什么?方均根速率、最概然速率和平均速率，它们各有何用 处?

答：气体分子速率分布曲线有个极大值，与这个极大值对应的速率叫做气体分子的最概然速率．物理意义是：对所有的相等速率区间而言，在含有vP的那个速率区间内的分子数占总分子数的百分比最大．

分布函数的特征用最概然速率vP表示；讨论分子的平均平动动能用方均根速率，讨论平均自由程用平均速率．

6-7 容器中盛有温度为T的理想气体，试问该气体分子的平均速度是多少?为什么? 答：该气体分子的平均速度为0.在平衡态，由于分子不停地与其他分子及容器壁发生碰撞、其速度也不断地发生变化，分子具有各种可能的速度，而每个分子向各个方向运动的概率是相等的，沿各个方向运动的分子数也相同．从统计看气体分子的平均速度是0.

6-8 在同一温度下，不同气体分子的平均平动动能相等，就氢分子和氧分子比较，氧分子的质量比氢分子大，所以氢分子的速率一定比氧分子大，对吗?

答：不对，平均平动动能相等是统计平均的结果．分子速率由于不停地发生碰撞而发生变化，分子具有各种可能的速率，因此，一些氢分子的速率比氧分子速率大，也有一些氢分子的速率比氧分子速率小．

6-9 如果盛有气体的容器相对某坐标系运动，容器内的分子速度相对这坐标系也增大了， 温度也因此而升高吗?

答：宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．只有当系统的整体运动的动能转变成无规则热运动时，系统温度才会变化． 6-10 题6-10图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题6-10图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高?

答：图(a)中(1)表示氧，(2)表示氢；图(b)中(2)温度高．

题6-10图

6-11 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么?

答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度微观本质是分子平均平动动能的量度． 6-12 下列系统各有多少个自由度： (1)在一平面上滑动的粒子；

(2)可以在一平面上滑动并可围绕垂直于平面的轴转动的硬币； (3)一弯成三角形的金属棒在空间自由运动． 解：(1) 2，(2)3，(3)6

6-13 试说明下列各量的物理意义． （1）

12kT （2）

32i2kT （3）

i232kT

（4）

MMmoli2RT （5）RT （6）RT

12解：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为(2)在平衡态下，分子平均平动动能均为

32kT.

i2kT.

kT．

(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量均为

(4)由质量为M，摩尔质量为Mimol，自由度为的分子组成的系统的内能为

MMmoli2RT.

(5) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为(6) 1摩尔自由度为3的分子组成的系统的内能平均平动动能之总和为

32RT.

i232RT.

RT，或者说热力学体系内，1摩尔分子的

6-14 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同? (1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积

内气体分子的总动能． 解：(1)由pnkT,npkT知分子数密度相同；

(2)由(3)由n(4)由ni232MVMmolpRT知气体质量密度不同；

kT知单位体积内气体分子总平动动能相同；

kT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同．

6-15 何谓理想气体的内能?为什么理想气体的内能是温度的单值函数?

解：在不涉及化学反应，核反应，电磁变化的情况下，内能是指分子的热运动能量和分子间相互作用势能之总和．对于理想气体不考虑分子间相互作用能量，质量为M的理想气体的所有分子的热运动能量称为理想气体的内能．

由于理想气体不计分子间相互作用力，内能仅为热运动能量之总和．即

EMMmoli2RT是温度的单值函数．

6-16 如果氢和氦的摩尔数和温度相同，则下列各量是否相等，为什么?

(1)分子的平均平动动能；(2)分子的平动动能；(3)内能． 解：(1)相等，分子的平均平动动能都为(2)不相等，因为氢分子的平均动能(3)不相等，因为氢分子的内能525232kT．

32kT．

kT，氦分子的平均动能

32RT，氦分子的内能RT．

6-17 有一水银气压计，当水银柱为0.76m高时，管顶离水银柱液面0.12m，管的截面积为2.0×10-4m2，当有少量氦(He)混入水银管内顶部，水银柱高下降为0.6m，此时温度为 27℃，试计算有多少质量氦气在管顶(He的摩尔质量为0.004kg·mol-1)? 解：由理想气体状态方程pVMMmolRT 得

pVmol MM5RT

3汞的重度 dHg1.3310Nm

氦气的压强 P(0.760.60)dHg 氦气的体积 V(0.880.60)2.0104m

43M0.004(0.760.60)dHg(0.282.010R(27327)(0.760.60)dHg(0.282.0108.31(27327)6)

4 0.004)

1.9110Kg

6-18 设有N个粒子的系统，其速率分布如题6-18图所示．求 (1)分布函数f(v)的表达式； (2)a与v0之间的关系；

(3)速度在1.5v0到2.0v0之间的粒子数． (4)粒子的平均速率．

(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率．

题6-18图

解：(1)从图上可得分布函数表达式 Nf(v)av/v0Nf(v)aNf(v)0av/Nv0f(v)a/N0(0vv0)(v0v2v0) (v2v0)(0vv0)(v0v2v0) (v2v0)f(v)满足归一化条件，但这里纵坐标是Nf(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N，

(2)由归一化条件可得

v00Navv0dvN2v0v0advN13a2N3v0

(3)可通过面积计算Na(2v01.5v0)(4) N个粒子平均速率

vN

0vf(v)dv1N10vNf(v)dvv0avv020dv2v0v0avdv

v131122(av0av0)v0 N329(5)0.5v0到1v0区间内粒子平均速率

vv00.5v0vdNNN1N1NN12v0vdNNNN130.5v0

v0 v00.5v0vf(v)dvav20.5v0Nv0dv

v1N1v0avv00.5v0dv()N13v024v0N11av03av017av0242

0.5v0到1v0区间内粒子数

N112(a0.5a)(v00.5v0)38av014N

v7av06N27v09

116-19 试计算理想气体分子热运动速率的大小介于vpvp100分子数占总分子数的百分比． 解：令uvvP与vpvp100之间的

，则麦克斯韦速率分布函数可表示为

dNN4ue2u2du

因为u1,u0.02 由

NN4ue2u2u 得

NN41e10.021.66%

6-20 容器中储有氧气，其压强为p＝0.1 MPa(即1atm)温度为27℃，求

(1)单位体积中的分子n；(2)氧分子的质量m；(3)气体密度；(4)分子间的平均距离e；(5)平均速率v；(6)方均根速率v；(7)分子的平均动能ε． 解：(1)由气体状态方程pnkT得

pkT0.11.013101.38102352n3002.451024m3

(2)氧分子的质量

mMmolN0M0.0326.0210235.321026 kg

(3)由气体状态方程pVMmolRT 得

MmolpRT0.0320.11.013108.31300530.13 kgm

(4)分子间的平均距离可近似计算

e13n132.4510247.42109 m

(5)平均速率

v1.60RTMmol1.608.313000.032446.58 ms1

(6) 方均根速率

v21.73RTMmol482.87ms1

(7) 分子的平均动能

52kT521.3810233001.041020J

6-21 1mol氢气，在温度为27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量

E平动动能 t3 Et32i2RT

8.313003739.5J 228.313002493J

转动动能 r2 Er内能i5 Ei528.313006232.5 J

6-22 一瓶氧气，一瓶氢气，等压、等温，氧气体积是氢气的2倍，求(1)氧气和氢气分子数密度之比；(2)氧分子和氢分子的平均速率之比． 解：(1)因为 pnkT则

nOnH

(2)由平均速率公式

1

v1.60RTMmol

vOvH-3

MMmolHmolO14

-5

6-23 一真空管的真空度约为1.38×10Pa(即1.0×10mmHg)，试 求在27℃时单位体积中的分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d＝3×10-10 m)． 解：由气体状态方程pnkT得

pkT12dn2n1.38101.38102333003.331017 m3

由平均自由程公式 

12910203.3310177.5 m

-4

6-24 (1)求氮气在标准状态下的平均碰撞频率；(2)若温度不变，气压降到1.33×10Pa，平均碰撞频率又为多少(设分子有效直径10-10 m)? 解：(1)碰撞频率公式z2dnv

2对于理想气体有pnkT，即

npkT

所以有 z2dvpkT2

而 v1.60RTMmol v1.608.3127328455.43 ms1

氮气在标准状态下的平均碰撞频率

z21020455.431.01310051.38102735.4410s

81

气压下降后的平均碰撞频率

z21020455.431.33102341.38102730.714s1

6-25 1mol氧气从初态出发，经过等容升压过程，压强增大为原来的2倍，然后又经过等温膨胀过程，体积增大为原来的2倍，求末态与初态之间(1)气体分子方均根速率之比； (2)分子平均自由程之比． 解：由气体状态方程

p1T1p2T2 及 p2V2p3V3

方均根速率公式 v21.73RTMmolp1p2

vv22初末pkTT1T212

对于理想气体，pnkT，即 n所以有 kT2dp2

初末T1p2p1T21

6-26 飞机起飞前机舱中的压力计指示为1.0 atm(1.013×105 Pa)，温度为27 ℃；起飞后压力计指示为0.8 atm(0.8104×105 Pa)，温度仍为27 ℃，试计算飞机距地面的高度．

mgz解：气体压强随高度变化的规律：由pnkT及nn0epn0kTemgzkTkT

Mmolp0eRTlnmgzkTp0egzRT

z8.31300p0pMmolgln10.8

z0.02899.81.9610 m

36-27 上升到什么高度处大气压强减少为地面的75%(设空气的温度为0℃)． 解：压强随高度变化的规律

zRTMmolgln5

ln1p0p

z8.312730.02899.80.752.3103m

6-28在标准状态下，氦气的粘度 = 1.89×10 Pa·s，摩尔质量Mmol =0.004 kg/mol，分子平均速率v1.20×103 m/s．试求在标准状态下氦分子的平均自由程． 解：据 13v 33V0Mmol得 vv

= 2.65×107 m

211

6-29在标准状态下氦气的导热系数 = 5.79×10 W·m·K，分子平均自由程2.60×7

10 m，试求氦分子的平均速率． 解： 1CV3Mmol1CV3V0

得 3V0CV3V032R2V0R = 1.20×10 m/s

3

6-30实验测得在标准状态下，氧气的扩散系数为1.9×105 m2/s，试根据这数据计算分子的平均自由程和分子的有效直径．

(普适气体常量R = 8.31 J·mol1·K1，玻尔兹曼常量k = 1.38×1023 J·K1) 解：(1) ∵ D1v

氧气在标准状态下  (2) ∵ ∴ 3 v8RTπM425 m/s

mol 3Dv1.3170 m

kT

2d2 pdkT2p2.51010 m