高中数学 2.3幂函数教案 新人教版必修1-新人教版高一必修1数学教案

教学目的：

1．通过实例，了解幂函数的概念．

12．具体结合函数yx,yx,yx,yx,yx的图象，了解幂函数的变

2312化情况．

3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．

教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入

先看五个具体的问题：

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数；

（2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa，这里S是a的函数； （3）如果立方体的边长为a，求立方体的体积Va，这里V是a的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长aS，这里a是

1223S的函数；

（5）如果某人t s内骑车进行了1km，那么他骑车的平均速度vt是t的函数．

讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？

它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数．

从上述函数中，我们观察到，它们都是形如yx的函数．

二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义

一般地，函数yx(aR)叫做幂函数（power function），其中x是自变量，是常数．对于幂函数yx，我们只讨论1,2,3,2、幂函数的图象

1km/s，这里v1,1时的情形． 2213在同一直角坐标系内作出幂函数yx； yx； yx；yx；yx的图象．

12观察纳出幂函

定义域 值 域 奇偶性 单调性 公共点 3、幂1）．五

12以上函数的图象的特征，归数的性质．

yx yx2 yx3 yx 12yx1 R R 奇 增 R R R 奇 增 （1,1） [0,) [0,) 非奇非偶 增 {x|x0} {y|y0} 奇 [0,) 偶 函数的性质 个具体的幂函数的性质

231（1）函数yx； yx； yx；yx和yx的图象都通过点（1，1）；

（2）函数yx；yx；yx是奇函数，函数yx是偶函数； （3）在区间(0,)上，函数yx，yx，yx和yx是增函数，函数

2331212yx1是减函数；

（4）在第一象限内，函数yx的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近．

2）．一般的幂函数的性质

（1）所有的幂函数yx在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)上是增函数； >1时，图象向上，靠近y轴； 0<<1，图景向上，靠近x轴； =1是条直线。

（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴；

（4）幂函数yx的图象，在第一象限内，直线x1的右侧，图象由下至上，指数由小到大；y轴和直线x1之间，图象由上至下，指数由小到大． 课堂练习： 已知幂函数yx在第一象限内的图象如图所示，且分别取

1111，，，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的的值依次为 ．

2例1：（课本第78页例1）证明幂函数f(x)x在[0,)上是增函数．

32变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）2.3，2.4；（2）0.31，0.35；（3）(2)1234346565，(3)32；（4）1.112，0.912．

例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：

（1）yx；（2）yx；（3）yx； （4）yx 解 （1）函数yx的定义域是R，它是奇函数； （2）函数yx即y （3）函数yx即y偶函数；

（4）函数yx即y变式训练2：

1333213321，其定义域是(,0)(0,)，它是偶函数； x2x，其定义域是[0,)，它既不是奇函数，也不是

12x，其定义域是R，它是奇函数．

，，，3，则使函数yx的定义域为R且为奇函数的所有a值为（1）. 设a11（ A ）．

(A) 1，3 (B) 1，1 (C) 1，3 (D) 1，1，3

（2）. 若函数f(x)x(xR)，则函数yf(x)在其定义域上是（ B ）． (A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数

1

（3）若幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则其定义域为( )

9

A．{x|x∈R，x>0} B．{x|x∈R，x<0}C．{x|x∈R，且x≠0} D．R 11αα－2a解析：设f(x)＝x.∵图象过点(3，)，∴＝3，即3＝3，∴α＝－2，即f(x)＝x99

－2

12a312

＝2，∴x≠0，即x≠0.

x答案：C

2x

例3：在同一坐标系作出函数y=x与y=2的图象。 变式训练3：已知幂函数f(x)＝上是减函数，则实数m＝________.

解析：∵幂函数f(x)＝

在(0，＋∞)上是减函数，∴m－2m－3<0，∴－12

(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)

*

又m∈N，∴m＝1或2，当m＝1时，f(x)＝x，其图象关于y轴对称，符合；当m＝2时，

*－4

f(x)＝x－3是奇函数，不符合，∴m＝1.

答案：1

布置作业： A组：

1．下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )

解析：注意到函数y＝x≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，结合选项知，该函数图象应与②对应；y＝

＝x的定义域、值域都是[0，＋∞)，结合选项知，该函

2

13

数图象应与③对应；y＝x－1＝，结合选项知，其图象应与④对应；图象①与y＝x大致对应．综

x上述所述，选B.

答案：B

1n1n2．已知n∈{－1,0,1,2,3}，若(－)>(－)，则n＝__________.

25

解析：可以逐一进行检验，也可利用幂函数的单调性求解． 答案：－1或2

3．（课本P79习题2.3 NO:1）已知幂函数yf(x)的图象过点(2,2)，试求出这个函数的解析式．

4．(课本P79习题2.3 NO:2)在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，

3

其流量速率v（单位：cm/s）与管道半径r(单位：cm)的四次方成正比．

（1）写出气流流量速率v关于管道半径r的函数解析式；

3

（2）若气体在半径为3cm的管道中，流量速率为400cm/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式；

3

（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的流量速率（精确到1cm/s）． 5．讨论函数yx的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说出函数的单调性． 27m6．已知函数f(x)＝－x，且f(4)＝－.

x2

(1)求m的值；

(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 72m7

解：(1)∵f(4)＝－，∴－4＝－.∴m＝1.

2422

(2)f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减，

23x证明如下：

任取0222＝(－x1)－(－x2)＝(x2－x1)(＋1)．

x1x2x1x2

∵00，

2

x1x2

＋1>0.

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)， 2

即f(x)＝－x在(0，＋∞)上单调递减．

xB组：

1．如果幂函数f(x)＝

(p∈Z)是偶函数．且在(0，＋∞)上是增函数．求

p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式．

1232

解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴－p＋p＋>0，即p－2p－3<0.∴－122又∵f(x)是偶函数且p∈Z.∴p＝1，故f(x)＝x.

2