利用等腰三角形的“三线合一”性质解题 我们知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，被称做为“三线合一”.等腰三角形的“三线合一”性质在几何解题中有着广泛地运用，现举例说明. 一、证明线段相等 例1 如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF. 分析 由于DE⊥AB，DF⊥AC，所以要证明DE＝DF，只要证明点D是∠BAC的平分线上的点，于是连结AD，而由AB＝AC，BD＝CD即可证明AD是∠BAC的平分线. 证明 连结AD.因为AB＝AC，BD＝CD，所以AD是等腰三角形底边BC上的中线，即AD又是顶角的平分线. 又因为DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE＝DF. 二、证明两条线垂直 例2 如图2，AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，CF＝DF.求证：AF⊥CD. 分析 由已知条件AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，显然只要连结AC、AD，则△ABC≌△AED，于是AC＝AD，而CF＝DF，则由等腰三角形的“三线合一”性质即可证明AF⊥CD. 证明 连结AC、AD.因为AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，所以△ABC≌△AED（SAS）， 所以AC＝AD， 又因为CF＝DF，所以AF是等腰三角形底边CD的中线， 所以AF也是CD边上的高，即AF⊥CD. E B F C A B C D A E F B F 图2 E 图3 D C A D 图1 三、证明角的倍半关系 例3 如图3，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D.求证：∠DBC＝1∠BAC. 2 分析 要证明∠DBC＝1∠BAC，只要作出∠BAC的平分线，然后利用等腰2三角形的“三线合一”性质即可证明 证明 作∠BAC的平分线AE.因为AB＝AC，所以由等腰三角形的“三线合一”可知AE⊥BC. 又因为BD⊥AC，所以∠ADB＝90°，而∠BFE＝∠AFD，所以∠DBC＝∠CAE， 故∠DBC＝1∠BAC. 2四、证明线段的倍半关系 例4 如图4，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF的延长线于D.求证：BF＝2CD. 分析 由BF平分∠ABC，CD⊥BD，可想到等腰三角形的“三线合一”性质，于是延长线BA、CD交于点E，于是△BCE是等腰三角形，并有ED＝CD，余下来的问题只需证明BF＝CE，而事实上，由∠BAC＝90°，CD⊥BD，∠AFB＝∠DFC，得∠ABF＝∠DCF，而AB＝AC，所以△ABF≌△ACE，则BF＝CE，从而问题获解. 证明 延长线BA、CD交于点E.因为BF平分∠ABC，CD⊥BD，所以可得BC＝BE，DE＝DC， 又因为∠BAC＝90°，∠AFB＝∠DFC，所以可得∠ABF＝∠DCF， 又AB＝AC，∠BAF＝∠CAE，所以△ABF≌△ACE（SAS），即BF＝CE， 故BF＝2CD. B A F D C 图4 B E 图5 C D A B C E A D E 图6 五、证明一个角是直角 例5 如图5，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°. 分析 要证明∠A＝90°，可构造出直角，然后使∠A与之相等.由于条件中有两个倍半的关系，因此首先考虑对∠ACB＝2∠B和BC＝2AC进行技术处理，可先作倍角的平分线和BC边上的垂线，这样利用等腰三角形的“三线合一”性质和全等三角形的知识即可解决问题. 证明 作CD平分∠ACB交AB于D，过D作DE⊥BC交BC于E，则∠ACD＝∠BCD＝1∠ACB，∠DEC＝90°. 21因为∠ACB＝2∠B，所以∠B＝∠ACB＝∠BCD，即DB＝DC. 2又DE⊥BC，所以DE是BC边上的中线，即E是BC的中点，所以BC＝2CE. 又因为BC＝2AC，所以AC＝CE. 所以△ACD≌△ECD（SAS），所以∠A＝∠DEC＝90°. 六、证明线段的和差关系 例6 如图6，在△ABC中，AD⊥BC于D，且∠ABC＝2∠C.求证：CD＝AB+BD. 分析 要证明CD＝AB+BD，可以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，趁下来的问题只要能证明DE＝DB，CE＝AE即可，而由已知条件结合等腰三角形的“三线合一”性质和等腰三角形顶角的外角与底角的关系即证. 证明 以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连结AE，则AE＝AB，即∠AEB＝∠ABC. 因为AD⊥BC，所以AD是BE的中线，即DE＝BD. 又因为∠ABC＝2∠C，所以∠AEB＝2∠C， 而∠∠AEB＝∠CAE+∠C，所以∠CAE＝∠C，即CE＝AE＝AB， 故CD＝AB+BD.