2020年高考数学试题-江苏卷(参考答案)

一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分，共计70分.1．{0,2}10．x5242．33．2454．195．36．327．48．139．123211．412．13．18或0514．105二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：因为E,F分别是AC,B1C的中点，所以EF∥AB1。又EF/平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以EF∥平面AB1C1。（2）因为B1C平面ABC，AB平面ABC，所以B1CAB。又ABAC，B1C平面AB1C1，AC平面AB1C，BCACC，所以AB平面AB1C。又因为AB平1面ABB1，所以平面AB1C平面ABB1。16．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查运算求解能力。满分14分。解：（1）在△ABC中，因为a3,c2,B45，由余弦定理b2a2c22accosB，得b292232cos455，所以b5.在△ABC中，由正弦定理得525，所以sinC=.sin45sinC54，所以ADC为钝角，而5bc，sinBsinC（2）在△ADC中，因为cosADCADCCCAD180，所以C为锐角.故cosC1sin2C25,则5sinC143tanC.因为cosADC，所以sinADC1cos2ADC，cosC255tanADCsinADC3.从而cosADC431tan(ADCC)42=2tanADCtan(180ADCC)tan(ADCC)==31111tanADCtanC1()4217．本小题主要考查函数的性质、用导数求最值、解方程等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.解：（1）设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直，A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知，当O'B40时，BB1由1403640160,则AA1160.8001O'A2160,得O'A80.所以ABO'AO'B8040120（米）.40（2）以O为原点，OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy（如图所示）.设F(x,y2),x(0,40),则y213x6x,800EF160y2160y113x6x.因为800CE80,所以O'C80x.设D(x80,y1),则CD160y1160f(x)=k(1601(80x)2,40所以11(80x)2x24x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则40401331x6x)k(x24x)8002401332k(xx160)(0x40).800803233kxx160)x(x20)，80040800f(x)=k(令f(x)=0，得x20.所以当x20时，f(x)取得最小值.答：（1）桥AB的长度为120米；（2）当O'E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低.18．本小题主要考查直线方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、向量数量积等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.满分16分.x2y21的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，解：（1）椭圆E:

43则a24,b23,c21.所以△AF1F2的周长为2a2c6.（2）椭圆E的右准线为x4.设P(x,0),Q(4,y)，则OP(x,0),QP(x4,y)，OPQPx(x4)(x2)244,在x2时取等号.所以OPQP的最小值为4.x2y21的左、右焦点分别为F1,F2，点A在椭圆E上且在第一象（3）因为椭圆E:

433限内，AF2⊥F1F2，则F1(1,0),F2(1,0),A(1,).所以直线AB:3x4y30.2设M(x,y)，因为S23S1，所以点M到直线AB距离等于点O到直线AB距离的3倍.由此得|3x4y3||30403|3，55则3x4y120或3x4y60.3x4y120,由x2y2得7x224x320，此方程无解；1343x4y60,2由x2y2得7x212x40，所以x2或x.7134代入直线l:3x4y60，对应分别得y0或y212因此点M的坐标为(2,0)或(,).7712.719．本小题主要考查利用导数研究函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分.解:（1）由条件f(x)h(x)g(x)，得x22xkxbx2 2x，取x0，得0b0，所以b0．由x22xkx，得x2(2 k)x0，此式对一切x(,)恒成立，所以(2 k)20，则k2，此时2xx22x恒成立，所以h(x)2x．（2）h(x) g(x) k(x1 lnx),x(0,).1令u(x) x1lnx，则u'(x)1,令u'(x)=0，得x1.x所以u(x)min u(1)0.则x1lnx恒成立，所以当且仅当k0时，f(x)g(x)恒成立．另一方面，f(x)h(x)恒成立，即x2x1kxk恒成立，也即x2(1 k)x1 +k0恒成立．因为k0，对称轴为x1k0，2所以(1k)24(1k)0，解得1k3．因此，k的取值范围是0k3.（3）①当1t2时，由g(x)h(x)，得4x284(t3t)x3t42t2，整理得3t42t28

x(tt)x0.()

423令=(t3t)2(3t42t28),则=t65t43t28．记(t)t65t43t28(1t2),则'(t)6t520t36t2t(3t21)(t23)0恒成立，所以(t)在[1, 2]上是减函数，则(2)(t)(1)，即2(t)7．所以不等式()有解，设解为x1xx2，因此nmx2x17．②当0t1时，f(1)h(1) 3t44t32t24t1．设v(t) = 3t44t32t24t1， v'(t)=12t312t24t44(t1)(3t21),令v(t)0，得t3．33当t(0，)时，v(t)0，v(t)是减函数；3当t(3，1)时，v(t)0，v(t)是增函数．3v(0)1，v(1)0，则当0t1时，v(t)0．（或证：v(t)(t1)2(3t1)(t1)0．）则f(1)h(1)0，因此1(m，n)．因为，所以nm217．［m，n］［-2，2］③当2t0时，因为f(x)，g(x)均为偶函数，因此nm7也成立．综上所述，nm7．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．解：（1）因为等差数列{an}是“λ～1”数列，则Sn1Snan1，即an1an1，也即(1)an10，此式对一切正整数n均成立．若1，则an10恒成立，故a3a20，而a2a11，这与{an}是等差数列矛盾．所以1．因为数列{an}(nN*)是“所以Sn1Sn3~2”数列，333an1，即Sn1SnSn1Sn．33Sn131Sn3Sn11．Sn因为an0，所以Sn1Sn0，则令Sn112322bn，则bn1bn1，即(bn1)(bn1)(bn1)．3Sn3Sn1Sn14，2，也即SnSn解得bn2，即所以数列{Sn}是公比为4的等比数列．因为S1a11，所以Sn4

n11(n1),．则ann234(n2).（3）设各项非负的数列{an}(nN*)为“~3”数列，则S3S3a3，即3Sn13Sn3Sn1Sn．n1nn1因为an0，而a11，所以Sn1Sn0，则3Sn1S1=3n11．SnSn111令3Sn133=cn，则cn13cn1)(cn 1)．（*）1(cn 1)，即(cn1)33(cnSn①若0或=1，则（*）只有一解为cn=1，即符合条件的数列{an}只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）32

c1)0，②若1，则（*）化为(cn1)(c31n322c10，则（*）只有一解为cn=1，因为cn1，所以cn31n2n即符合条件的数列{an}只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）32

cn10的两根分别在（0，1）与（1，+∞）内，③若01，则c312n则方程（*）有两个大于或等于1的解：其中一个为1，另一个大于1（记此解为t）．所以Sn1Sn或Sn1t3Sn．由于数列{Sn}从任何一项求其后一项均有两种不同结果，所以这样的数列{Sn}有无数多个，则对应的{an}有无数多个．综上所述，能存在三个各项非负的数列{an}为“~3”数列，的取值范围是01．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步．骤．A．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）a1平面上点A(2,1)在矩阵M对应的变换作用下得到点B(3,4)．1b（1）求实数a，b的值；（2）求矩阵M的逆矩阵M1．B．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）ππ在极坐标系中，已知点A(1,)在直线l:cos2上，点B(2,)在圆C:4sin上36（其中0，02）．（1）求1，2的值；（2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标．C．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设xR，解不等式2|x1||x|4．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=5，BD=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC的中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；（2）若点F在BC上，满足BF=23．求p1，q1和p2，q2；（2）求2pn+qn与2pn-1+qn-1的递推关系式和Xn的数学期望E(Xn)(用n表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A．[选修4-2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．a1232a13,=解：（1）因为，所以2b4,1b1421解得ab2，所以M．122　 1（2）因为M，det（M）221（1）50，所以M可逆，21　　12　 -55．12　　　551

BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．4从而M1B．[选修4-4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．解：（1）由1cos在圆C上，因此22或0．cos2,（2）由得4sincos2，所以sin21．4sin,2，得14；24sin2，又（0，0）（即（0，））也366因为0，0 2，所以所以公共点的极坐标为(22,)．4，=22．4C．[选修4-5：不等式选讲]本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．满分10分．解：当x>0时，原不等式可化为2x2x4，解得0x2；3当1x0时，原不等式可化为2x2x4，解得1x0；当x1时，原不等式可化为2x2x4，解得2 x1．2综上，原不等式的解集为{x|2x}．322．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和二面角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力．满分10分．解：（1）连结OC，因为CB=CD，O为BD中点，所以CO⊥BD．又AO⊥平面BCD，所以AO⊥OB，AO⊥OC．OB，OC，OA以为基底，建立空间直角坐标系O–xyz．因为BD=2，CBCD5，AO=2，所以B（1，0，0），D（–1，0，0），C（0，2，0），A（0，0，2）．因为E为AC的中点，所以E（0，1，1）．则AB=（1，0，–2），DE=（1，1，1），|ABDE||102|15DE|所以|cosAB，．15|AB||DE|5315．151（2）因为点F在BC上，BFBC，BC=（–1，2，0）．4111所以BFBC(,,0)．442又DB，（2,0,0）

因此，直线AB与DE所成角的余弦值为71故DFDBBF(,,0)．42设n1(x1，y1，z1)为平面DEF的一个法向量，x1y1z10，DEn10，则即71xy10,DFn0,11427，5)．取x12，得y1–7，z15，所以n1(2，设n2(x2，y2，z2)为平面DEC的一个法向量，又DC=（1，2，0），DEn20，x2y2z20，则即取x22，得y2–1，z2–1，x2y0,2DCn20,21，1)．所以n2(2，故|cos|

|n1n2||475|13．|n1||n2|13786239．13所以sin1cos223．【必做题】本小题主要考查随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能力和推理论证能力．满分10分．11C1C1121C32C3解：（1）p111，q111，C3C33C3C3311C1C11271C32C1p211p111q10(1p1q1)p1q1，C3C3C3C339271111C1C1C1C13C22C32C21C1q211p1(1111)q111(1p1q1)C3C3C3C3C3C3C3C31216=q1．9327（2）当n2时，11C1C1121C32C1pn11pn111qn10(1pn1qn1)pn1qn1，①C3C3C3C3391111C1C1C1C13C22C32C21C1qn11pn1(1111)qn111(1pn1qn1)C3C3C3C3C3C3C3C312=qn1，②932①②，得2pnqn241212pn1qn1qn12pn1qn1．39933311从而2pnqn1(2pn1qn11)，又2p1q11，3311n11n所以2pnqn1()1()，nN*．③333由②，有qn所以qn31331(qn1)，又q1，59551511n13()，nN*．159511n31111()n()n，nN*．由③，有pn［1()qn］23109235故1pnqn31n11n1()()，nN*．109235Xn的概率分布XnP01pnqn1qn2