三角形的五心及其应用

本文对三角形五心的性质，特征以及其在几何中的应用等与三角形五心有关的重要内容进行了研究。

三角形五心是新颁发的初中数学大纲特别加强的内容。与之相关的几何问题通常涉及的知识面广，难度大，要求的技巧性强，故三角形五心问题考察学生逻辑思维能力的较佳题型，近年来，已成为开学考试以及数学竟赛中的热点。

关键词： 三角形的五心，角平分线，高线，中线等

目 录

摘要 ................................................................................................................................ 1 引言 ................................................................................................................................ 3 1.外心 ............................................................................................................................ 3

1.1定义........................................................................................................................................ 3 1.2重要性质 ................................................................................................................................ 3 1.3隐含特征 ................................................................................................................................ 3

2.内心 ............................................................................................................................ 5

2.1定义........................................................................................................................................ 5 2.2重要性质 ................................................................................................................................ 5 2.3隐含特征 ................................................................................................................................ 5

3.重心 ............................................................................................................................ 7

3.1定义........................................................................................................................................ 7 3.2重要性质 ................................................................................................................................ 7 3.3隐含特征 ................................................................................................................................ 7

4.垂心 ............................................................................................................................ 8

4.1 定义 ....................................................................................................................................... 8 4.2 重要性质 ............................................................................................................................... 8 4.3 隐含特征 ............................................................................................................................... 8

5.旁心 .......................................................................................................................... 10

5.1定义...................................................................................................................................... 10 5.2重要性质 .............................................................................................................................. 10 5.3隐含特征 .............................................................................................................................. 10

总结 .............................................................................................................................. 12 致谢 ................................................................................................ 错误!未定义书签。

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引言

三角形的五心指的是外心，内心，重心，垂心，旁心。它们各自是三角形的某三条特殊直线的巧合点。三角形五心各有特点。掌握了它们的定义性质及特征，对熟练应用其来证明某些题是很有帮助的。

1.外心

1.1定义

三角形三条边的垂直平分线的交点（即三角形外接圆的圆心），称为三角形的的外心。

1.2重要性质

外心与三角形三个顶点的距离相等。

AO

1.3隐含特征

（1）三角形的三条边就是外接圆的弦；

（2）外心与个顶点连线将三角形分成三个等腰三角形；

BC（3）由外心向个边作垂线，平分个边且平分个边所对的弧； （4）外心与个边中点连线必垂直与个边； （5）三角形任意边的垂直平分线必过其外心；

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（6）三角形的外心可能在三角形内部，外部或边上（如下图）。 O

O

(直角三角形) （锐角三角形） 例1：若P点到三角形ABC的三个顶点的距离相等，证明P点是ABC的外心。

证明：

由已知可以知道P点到三角形ABC的三个顶点的距离相等，即PA=PB=PC 所以A,B,C三点到都在以O为圆心，PA为半径的圆上，这个圆就是三角形ABC的外接圆从而可知：P点是三角形ABC的外心。 例2：

证明：若O是ABC的外心，则

BOC3602A(A为钝角)

证：A为钝角 （图 1.1）

O是ABC的外心 O是ABC外接圆的圆心。 在此圆的BC 弧的与点A异侧上任取一点A则有，

BOC2A ○

* 又A,B,A,C 是共圆点.

 有A+A=180 A=180A

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O（钝角三角形） APBC图 1.1

ABCO A（图 1.2）

*中有 BOC3602A 代入○

2.内心

2.1定义

三角形三个内角平分线的交点（即三角形内切圆的圆心），称为三角形的内心。

2.2重要性质

内心到三边距离相等（即内切圆半径）；

CO 2.3隐含特征

（1）三角形内心与个顶点连线必平分个内角； （2）三角形各内角平分线必过内心；

AB（3）三角形各角的顶点到内心所连的线段，在此角的两边的射影的长相等（即圆外一点向圆引的两条切线长相等）；

（4）ABC过点A作AD , 垂直于BC,（r为内切圆的半径）；

11（5）设I为三角形ABC的内心，则BIC90A ，AIC90B

221AIB90C。

2例3：

证明：等边三角形的内心与外心重合，并且外接圆半 径是内切圆半径的2倍。 证：

设等边ABC过点A作AD垂直于BC,

垂点为D,过B点做BE 垂直于AC,垂点为E,

AD与BE相交于F连接CF，并延长CF交AB于G （图 2.1）。

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AD与BE为高 ，而ABC是等边三角形 。

1AC2CBEDAC=30BEA=BDA90 BDF AEF BF=AF BC=ACCF=CF ,  BFC AFC BCG=ACG CGAB BDAE FD,FE,FG分别垂直于AB，BC，AC 。 F 就是ABC的内心，BF=FCBD=DCDF=DF  BDFCDF ，  BF=FCAGFEBDC（图 2.1）

同理可得 ： CF=AF

F为ABC的外心且DF为内接圆半径,BF为外接圆半径

ADBC  BDF直角三角形 ，1又FBD=ABC=30

21 FD=BF ,得证.2

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3.重心

3.1定义

三角形的三条中线交点称为三角形的重心 。

AO3.2重要性质

BC1重心到个边中的距离等于这边中线的（即 重心将每条中线分成2：。 1两段）33.3隐含特征

（1）三角形的中线必过中心；

（2）三角形的顶点与重心的连线的延长线必过对边的中点；

（3）三角形的顶点与重心的连线将三角形分成等积三角形，（即每个三角形的面积等于原三角形的三分之一）。

例4：证明：重心到顶点的距离是它到对边重点中点距离的二倍。 证明：

如图3.1： ABC 中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为ABC的重心，做BG中点H，GC中点I，  HI 为GBC的中位线，  HIBC ，且 2HI = BC 同理：FE是ABC的中位线，

 EF BC ，且 2EF=BC，

 EF HI ，且 EF=HI， 四边形FHIE是平行四边形 。

BFGHIC图 3.1EA7 / 13

HG = GE，又H为BG的中点 ，

GH = BH，  HG=BH=GE ，  2GE=BG

 三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍 。

4.垂心

4.1 定义

三角形三条高线的交点称为三角形的垂心 。

AO4.2 重要性质

垂心与三角形顶点的连线使三角形中出现 。

BC4.3 隐含特征

（1）三角形各边高线必过垂心；

（2）三角形个顶点与垂心的连线垂直于对边；

（3）三角形的三条高将三角形所分的三角形，可找到若干对相似三角形； （4）垂心：三角形两边高线的垂足与这两边夹角的顶点，四点共圆； （5）三角形的垂心可以在三角形的内部，外部或直角顶点 如下图。

AFHBD锐角三角形HEFACBD钝角三角形EACB直角三角形H

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例5：ABC中，AD，BE 是两条高，AD，BE交于点O ，连接OC并延长交AB与F ，求 证 ：

AFOECF AB 。

证： 连接DE ，

ADB=AEB=90 A ， B ， D ，E 四点共圆  ADE= ABE  EAO=  DAC , AEO=DAC   AEO~  ADC

BD图 4.1CAEAD=  EAD~ OACAOAC ACF=ADE=ABE 又 ABE+BAC=90  ACF+BAC=90 CF AB ； 例6：已知 H ，O 分别是ABC的垂心及外接圆的圆心 。

OLBC于L ，求证： AH=2OL

假设H是ABC的垂心（图4.2）O是外心，OLBC于L。

证：

以 P，Q分别表示HA，HB的中点 。

M表AC的中点 ，由于L是BC的中点，可得，

1LM // AB（由ABC得出）

21QP //AB（由ABH得出）,故

2LM // PQ ， 且OL// PH（同垂直于BC）

APHOQBL（图4.2）CMOM// QH（同垂直于AC）可见 ， OLM与HPQ 三双对应边平行 ， 从而各角对应相等且LM=QP

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 OLM  HPQ所以AH=2PH=2OL

 AH=2OL .5.旁心

5.1定义

三角形的每一内角平分线和其余两角的外交平分线的交点（即三角形的旁切圆的圆心） ，称为三角形的旁心 。

A5.2重要性质

旁心与三角形一边及其它二边的延长线的距离相等 。 BCM 5.3隐含特征

（1）三角形的一个内角平分线必过旁心 ； （2）一个三角形有三各旁心 ，均在三角形外 。 例7：ABC的顶角A的平分线交外接圆于M，求证： M点与B点，C点，内心及A内的旁心等远。 证：

设内心是O点，A内的旁心是E点，

OA AM平分A， BAM=CAM  BM=CM1又 CBM=CAMA ，

211 OBM=A+B ，

22BDCME（图5.1）

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11BOM=OAB+OBA =A+B22 BOM=OBM ， OM=BM ，但 BO，BE分别为B内，外角的平分线 。 BOE=90 BOM+E=EBM+OBM=90于是E=EBM . BM=ME ,则 BM=MC=MO=ME 。

注：三角形的一个内角平分线必过旁心这个特征在证明该题的过程中起到了重要作用。

至于三角形的中心这个概念：当三角形为正三角形是五心合一，就叫做三角形的中心。当三角形为等腰三角形时，等要三角形的底边的中线，高线及等角的角平分线，这个三线交点合一，就是三角形的中心了，当三角形为等边三角形时，四心合一（即重心，内心，外心，垂心）称为三角形的中心。

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总结

三角形的五心具有的许多性质、特征是其可以广泛用于解决现实问题的依据。近年来，三角形五心问题作为中考的热点，其相关题型往往建立在知识的交汇点上，具有涉及面广，综合性强等特点。故而要想解决此类问题，必须对三角形五心的性质及特征进行比较深入的研究。此外，对三角形五心的性质及特征的熟练掌握也含给现实生活中的问题解决带来很大的方便。

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参考文献

[1] 朱德祥，朱维宗.初等几何研究M .高等教育出版社，（2007.8）.（32-33） [2] 郭姜津.初中平面几何M. 东北师范大学出版社，（2003.5）.（299-302） [3] 高中数学奥林匹克竞赛教程M . 浙江教育出版社，（2004.6）.（149-254） [4] 中学教育网 ： 三角形的五心的性质.（2007.4.11）

[5] 中学教研1988年6月（第二期）浙江师范大学编，2004年2月10日出版。

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