解三角形知识点归纳

一 正弦定理

（一）知识与工具：

abc2R。 正弦定理：在△ABC中，

sinAsinBsinC在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。 注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°

(2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

(3)面积公式：S=

1abcabsinC==2R2sinAsinBsinC 24RABCCAB=cos，cos=sin 2222(4)三角函数的恒等变形。

sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin

（二）题型 使用正弦定理解三角形共有三种题型

题型1 利用正弦定理公式原型解三角形

题型2 利用正弦定理公式的变形(边角互化)解三角形：关于边或角的齐次式可以直接边角互化。

例如：sin2A3sin2B2sin2Ca23b22c2

题型3 三角形解的个数的讨论 方法一：画图看

方法二：通过正弦定理解三角形，利用三角形内角和与三边的不等关系检验解出的结果是否符合实际意义，从而确定解的个数。 二 余弦定理

（一）知识与工具：

b2c2a2a=b+c﹣2bccosA cosA=

2bc2

2

2

a2c2b2b=a+c﹣2accosB cosB=

2ac2

2

2

a2b2c2c=a+b﹣2abcosC cosC=

2ab2

2

2

注明：余弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中，注意三角形中其他条件的应用：

(1)三内角和为180°；

1

学而通 黄冈教育 教师： 学生： (2)两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

abc1(3)面积公式：S=absinC==2R2sinAsinBsinC

4R2(4)三角函数的恒等变形。

（二）题型使用余弦定理解三角形共有三种现象的题型

题型1 利用余弦定理公式的原型解三角形

题型2 利用余弦定理公式的变形(边角互换)解三角形：凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式。

题型3 判断三角形的形状

结论：根据余弦定理，当a2+b2＜c2、b2+c2＜a2、c2+a2＜b2中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三角形，而当a2+b2＞c2、b2+c2＞a2，c2+a2＞b2中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论。

判断三角形形状的方法：

(1)将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状。

(2)将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用A+B+C=π这个结论。

在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解。

正余弦定理在实际中的应用 求 距离 两点间不可通又不可视 两点间可视但不可达 两点都不可达 底部可达 求 高度 底部不可达 题型1 计算高度 题型2 计算距离 题型3 计算角度 题型4 测量方案的设计 实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解。 （三）其他常见结论

1三角形内切圆的半径：r 2S，

abc

特别地，r直abc斜22三角学中的射影定理：

在△ABC 中，bacosCccosA，… 3两内角与其正弦值：

在△ABC 中，ABsinAsinB，…

2

学而通 黄冈教育 教师： 学生：

二：解答题

1.已知函数f(x)4cosxsin(x（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

6)1.

（Ⅱ）求f(x)在区间

,上的最大值和最小值。 64

2.已知函数f(x)Asin(x)，xR，A0，0.yf(x)的部分图

32像，如图所示，P、Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(1,A).

（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及的值； （Ⅱ）若点R的坐标为(1,0)，PRQ

3. 在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知（Ⅰ）求

3

2，求A的值. 3cosA2cosC2ca，

cosBbsinC1的值；（Ⅱ）若cosB,b2，求ABC的面积S。 sinA4 学而通 黄冈教育 教师： 学生： 12cos(BC)0，4.在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a=3，b=2，求边BC上的高.

5.（2011年全国卷高考18）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知

asinAcsinC (Ⅰ)求B；

2asinCbsinB.

（Ⅱ）若A75,b2,求a，c.

4

0 学而通 黄冈教育 教师： 学生： 6.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c且满足csinAacosC. （I）求角C的大小； （II）求3sinAcos(B

7．已知函数f(x)2sin(x（1）求f(4)的最大值，并求取得最大值时角A,B的大小．

136)，xR．

5)的值； 4（2）设,0,106f(3)f(32)，，，求cos()的值． 21352

8．已知函数f(x)sin(x73)cos(x)，xR． 44（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最小值；

（Ⅱ）已知cos()，cos()，0

5

45452．求证： [f()]220．

学而通 黄冈教育 教师： 学生：

9.在△ABC中，角A、B、C所对应的边为a,b,c （1）若sin(A6)2cosA, 求A的值；

（2）若cosA13,b3c，求sinC的值.

10.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a。 （I）求b； （II）若c2=b2a+3a2，求B。

11.设ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a1,b2,cosC14 (I) 求ABC的周长； (II)求cos(AC)的值。

6

学而通 黄冈教育 教师： 学生：

12. 在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知cos2C (1)求sinC的值；

(2)当a=2， 2sinA=sinC时，求b及c的长．

1 4

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