一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2
2．下列代数式中， +1的一个有理化因式是（ ） A．
B．
C．
+1
D．
﹣1
3．如果关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a取值范围是（ ） A．a＞0 B．a≥0 C．a=1 D．a≠0 4．下面说法正确的是（ ）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．正方形的面积和它的边长成正比例关系
C．车辆所行驶的路程S一定时，车轮的半径r和车轮旋转的周数m成反比例关系 D．水管每分钟流出的水量Q一定时，流出的总水量y和放水的时间x成反比例关系 5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等
6．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（ ）
A．CM=BC B．CB=AB C．∠ACM=30° D．CH•AB=AC•BC
二、填空题（本题共12小题，每小题2分，满分24分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7．计算： = ． 8．计算：
= ．
9．如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是 ． 10．在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣1= ． 11．函数
的定义域是 ．
12．如果正比例函数y=（k﹣3）x的图象经过第一、三象限，那么k的取值范围是 ． 13．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是 ． 14．经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是 ．
15．已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2） ，那么A、B两点间的距离等于 ．16．如果在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC= ． 17．边长为5的等边三角形的面积是 ．
18．已知在△AOB中，∠B=90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O逆时针旋转75°后，那么旋转后点B的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8题，满分58分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．计算：
．
20．解方程：（x﹣）2+4x=0．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0，求这个方程根的判别式的值．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．
（1）作图：在AC上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求CD的长．
23．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线y=x相交于横坐标为2的点A． （1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B在直线y=x上，点C在反比例函数图象上，BC∥x轴，BC=3，且BC在点A上方，求点B的坐标．
24．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，联结BE，过点C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取点F，使DF=BE，分别联结BD、EF． （1）求证：DE=BE；
（2）求证：EF垂直平分BD．
25．为改善奉贤交通状况，使奉贤区融入上海1小时交通圈内，上海轨交5号线南延伸工程于2014年启动，并将于2017年年底通车．
（1）某施工队负责地铁沿线的修路工程，原计划每周修2000米，但由于设备故障第一周少修了20%，从第二周起工程队增加了工人和设备，加快了速度，第三周修了2704米，求该工程队第二周、第三周平均每周的增长率．
（2）轨交五号线从西渡站到南桥新城站，行驶过程中的路程y（千米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．请根据图象解决下列问题： ①求y关于x的函数关系式并写出定义域；
②轨交五号线从西渡站到南桥新城站沿途经过奉浦站，如果它从西渡站到奉浦站的路程是4千米，那么轨交五号
线从西渡站到奉浦站需要多少时间？
26．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，射线PD交射线AC于点E． （1）当点D与点C重合时，求PB的长；
（2）当点E在AC的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△PAD是直角三角形时，求PB的长．
八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，满分18分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂] 1．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【考点】同类二次根式．
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式， 得x+2=3x， 解得x=1． 故选：C．
2．下列代数式中， +1的一个有理化因式是（ ） A． B． C． +1 D．﹣1 【考点】分母有理化．
【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 【解答】解：∵由平方差公式，（）（）=x﹣1， ∴的有理化因式是， 故选D．
3．如果关于x的方程ax2﹣3x+2=0是一元二次方程，那么a取值范围是（ ） A．a＞0 B．a≥0 C．a=1 D．a≠0 【考点】一元二次方程的定义．
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【解答】解：依题意得：a≠0． 故选：D．
4．下面说法正确的是（ ）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B．正方形的面积和它的边长成正比例关系
C．车辆所行驶的路程S一定时，车轮的半径r和车轮旋转的周数m成反比例关系 D．水管每分钟流出的水量Q一定时，流出的总水量y和放水的时间x成反比例关系 【考点】反比例函数的定义；正比例函数的定义．
【分析】分别利用反比例函数、正比例函数以及二次函数关系分别分析得出答案． 【解答】解：A、一个人的体重与他的年龄成正比例关系，错误； B、正方形的面积和它的边长是二次函数关系，故此选项错误；
C、车辆所行驶的路程S一定时，车轮的半径r和车轮旋转的周数m成反比例关系，正确；
D、水管每分钟流出的水量Q一定时，流出的总水量y和放水的时间x成正比例关系，故此选项错误； 故选：C．
5．下列条件中不能判定两个直角三角形全等的是（ ） A．两个锐角分别对应相等 B．两条直角边分别对应相等
C．一条直角边和斜边分别对应相等 D．一个锐角和一条斜边分别对应相等 【考点】直角三角形全等的判定．
【分析】根据三角形全等的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、两个锐角对应相等，不能说明两三角形能够完全重合，符合题意； B、可以利用边角边判定两三角形全等，不符合题意；
C、可以利用边角边或HL判定两三角形全等，不符合题意； D、可以利用角角边判定两三角形全等，不符合题意． 故选：A．
6．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，则下列结论正确的是（ ）
A．CM=BC B．CB=AB C．∠ACM=30° D．CH•AB=AC•BC
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【分析】由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2；由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易证得△ACH∽△CHB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得CH2=AH•HB；由△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB上中线，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=AB．
【解答】解：△ABC中，∠ACB=90°，CM分别是斜边AB上的中线，可得：CM=AM=MB，但不能得出CM=BC，故A错误；
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM=AB，但不能得出CB=AB，故B错误；
△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，无法得出∠ACM=30°，故C错误； 由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2；由△ABC中，∠ACB=90°，CH是高，易证得△ACH∽△CHB，根据相似三角形的对应边成比例得出CH•AB=AC•BC，故D正确； 故选D
二、填空题（本题共12小题，每小题2分，满分24分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]
7．计算： = 2 ． 【考点】算术平方根．
【分析】根据算术平方根的性质进行化简，即【解答】解： =故答案为2． 8．计算：
=2
．
=|a|．
= 2a ．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先化简二次根式，再作加法计算． 【解答】解：原式=a+a=2a，故答案为：2a．
9． 如果关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是 m＜﹣4 ．【考点】根的判别式．
【分析】根据关于x的一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．
【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根， ∴△=16﹣4（﹣m）＜0， ∴m＜﹣4，
故答案为m＜﹣4．
10．在实数范围内分解因式x2﹣4x﹣1= （x﹣2+）（x﹣2﹣） ． 【考点】实数范围内分解因式．
【分析】根据完全平方公式配方，然后再把5写成（【解答】解：原式=x2﹣4x+4﹣5 =（x﹣2）2﹣5 =（x﹣2+）（x﹣2﹣）． 故答案为：（x﹣2+）（x﹣2﹣）． 11．函数
的定义域是 x＞﹣2 ．
）2利用平方差公式继续分解因式．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零，求解即可． 【解答】解：由题意得：＞0， 即：x+2＞0， 解得：x＞﹣2． 故答案为：x＞﹣2． 12．x的图象经过第一、 如果正比例函数y=（k﹣3）三象限，那么k的取值范围是 k＞3 ．【考点】正比例函数的性质．
【分析】根据正比例函数y=（k﹣3）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．
【解答】解：因为正比例函数y=（k﹣3）x的图象经过第一、三象限， 所以k﹣3＞0， 解得：k＞3， 故答案为：k＞3．
13．命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是 周长相等的三角形是全等三角形 ． 【考点】命题与定理．
【分析】交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题．
【解答】解：命题“全等三角形的周长相等”的逆命题是周长相等的三角形是全等三角形， 故答案为：周长相等的三角形是全等三角形、
14．经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是 线段AB的垂直平分线 ． 【考点】轨迹． 【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．
【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线． 故答案为线段AB的垂直平分线． 15．1）2）B两点间的距离等于 已知直角坐标平面内两点A（﹣3，和B（1，，那么A、 ．【考点】两点间的距离公式．
【分析】根据两点间的距离公式，可以得到问题的答案．
【解答】解：∵直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（1，2）， ∴A、B两点间的距离为：
=
．
故答案为．
16．如果在四边形ABCD中，∠B=60°，AB=BC=13，AD=12，DC=5，那么∠ADC= 90° ． 【考点】勾股定理的逆定理；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据等边三角形的判定得出△ABC是等边三角形，求出AC=13，根据勾股定理的逆定理推出即可．
【解答】解：连接AC，
∵∠B=60°，AB=BC=13， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC=13，
∵AD=12，CD=5， ∴AD2+CD2=AC2，
∴∠AC=90°， 故答案为：90°．
17．边长为5的等边三角形的面积是 ．
【考点】等边三角形的性质． 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可以求得高线AD的长度，根据三角形的面积公式即可得出结果．
【解答】解：如图所示：作AD⊥BC于D， ∵△ABC是等边三角形， ∴D为BC的中点，BD=DC=， 在Rt△ABD中，AB=5，BD=， ∴AD=
=
=
，
=
．
∴等边△ABC的面积=BC•AD=×5×故答案为：
．
18．已知在△AOB中，∠B=90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O逆时针旋转75°后，那么旋转后点B的坐标为 （，） ．
【考点】坐标与图形变化-旋转；解直角三角形．
【分析】易得△AOB的等腰直角三角形，那么OB的长为2，绕原点O逆时针旋转75°
后，那么点B与y轴正半轴组成30°的角，利用相应的三角函数可求得旋转后点B的坐标．
【解答】解：∵∠B=90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4）， ∴OA=4． ∴OB=2，
∵将这个三角形绕原点O逆时针旋转75°， ∴点B与y轴正半轴组成30°的角， 点B的横坐标为﹣，纵坐标为． ∴旋转后点B的坐标为（，）．
三、解答题（本大题共8题，满分58分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．计算：
．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】根据二次根式的加减法，即可解答． 【解答】解：由题意，得 m＞0 原式==
20．解方程：（x﹣）2+4x=0． 【考点】二次根式的混合运算．
【分析】利用完全平方公式把原方程变形，根据二次根式的加减法法则整理，解方程即可．【解答】解：
， ， ，
所以原方程的解是：
． ，
21．已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0，求这个方程根的判别式的值．
【考点】整式的加减—化简求值．
【分析】首先根据x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0，可得（m﹣2）2=0，据此求出m的值是多少；然后根据△=b2﹣4ac，求出这个方程根的判别式的值是多少即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+（m﹣2）2=0有一个根为0， ∴（m﹣2）2=0， 解得m=2，
∴原方程是x2+5x=0， ∴△=b2﹣4ac =52﹣4×1×0 =25
∴这个方程根的判别式的值是25．
22．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，AB=10cm，点D在边AC上，且点D到边AB和边BC的距离相等．
（1）作图：在AC上求作点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）求CD的长．
【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质． 【分析】（1）直接利用角平分线的做法得出符合题意的图形；
（2）直接利用角平分线的性质结合全等三角形的判定与性质得出BC=BE，进而得出DC的长．
【解答】解：（1）如图所示：
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为点E， ∵点D到边AB和边BC的距离相等， ∴BD平分∠ABC．（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） ∵∠C=90°，DE⊥AB， ∴DC=DE．（角平分线上的点到角的两边的距离相等） 在Rt△CBD和Rt△EBD中，∴Rt△CBD≌Rt△EBD（HL）， ∴BC=BE．
∵在△ABC中，∠C=90°， ∴AB2=BC2+AC2．（勾股定理） ∵AC=6cm，AB=10cm， ∴BC=8cm．
∴AE=10﹣8=2cm． 设DC=DE=x， ∵AC=6cm， ∴AD=6﹣x．
∵在△ADE中，∠AED=90°， ∴AD2=AE2+DE2．（勾股定理） ∴（6﹣x）2=22+x2． 解得：
．
即CD的长是．
23．如图，在直角坐标系xOy中，反比例函数图象与直线y=x相交于横坐标为2的点A． （1）求反比例函数的解析式；
（2）如果点B在直线y=x上，点C在反比例函数图象上，BC∥x轴，BC=3，且BC在点A上方，求点B的坐标．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把x=2代入y=x得出点A坐标，从而求得反比例函数的解析式；
（2）设点C（，m），根据BC∥x轴，得点B（2m，m），再由BC=3，列出方程求得m，检验得出答案．
【解答】解：（1）设反比例函数的解析式为y=（k≠0）， ∵横坐标为2的点A在直线y=x上，∴点A的坐标为（2，1）， ∴1=， ∴k=2，
∴反比例函数的解析式为；
（2）设点C（，m），则点B（2m，m）， ∴BC=2m﹣=3， ∴2m2﹣3m﹣2=0， ∴m1=2，m2=﹣，
m1=2，m2=﹣都是方程的解，但m=﹣不符合题意，
∴点B的坐标为（4，2）．
24．如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC的中点，联结BE，过点C作CD∥BE，且∠ADC=90°，在DC取点F，使DF=BE，分别联结BD、EF． （1）求证：DE=BE；
（2）求证：EF垂直平分BD．
【考点】直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质． 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BE=DE，根据等腰三角形性质求出即可；
（2）证出DE=DF，得出∠DEF=∠DFE，证出∠BEF=∠DEF，即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，点E是AC的中点， ∴
，
．（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
∴BE=DE．
（2）证明：∵CD∥BE， ∴∠BEF=∠DFE． ∵DF=BE，BE=DE， ∴DE=DF．
∴∠DEF=∠DFE． ∴∠BEF=∠DEF． ∴EF垂直平分BD．（等腰三角形三线合一）
25．为改善奉贤交通状况，使奉贤区融入上海1小时交通圈内，上海轨交5号线南延伸工程于2014年启动，并将于2017年年底通车．
（1）某施工队负责地铁沿线的修路工程，原计划每周修2000米，但由于设备故障第一周少修了20%，从第二周起工程队增加了工人和设备，加快了速度，第三周修了2704米，求该工程队第二周、第三周平均每周的增长率．
（2）轨交五号线从西渡站到南桥新城站，行驶过程中的路程y（千米）与时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．请根据图象解决下列问题： ①求y关于x的函数关系式并写出定义域；
②轨交五号线从西渡站到南桥新城站沿途经过奉浦站，如果它从西渡站到奉浦站的路程是4千米，那么轨交五号
线从西渡站到奉浦站需要多少时间？
【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用． 【分析】（1）首先表示出第一周修的长度，进而利用结合求第二周、第三周平均每周的增长率，得出等式求出答案；
（2）①直接利用待定系数法求出函数解析式，再利用图形得出x的取值范围； ②当y=4代入函数解析式进而求出答案． 【解答】解：（1）设该工程队第二周、第三周平均每周的增长率为x， 由题意，得 2000（1﹣20%）（1+x）2=2704． 整理，得 （1+x）2=1.69． 解得 x1=0.3，x2=﹣2.3．（不合题意，舍去）
答：该工程队第二周、第三周平均每周的增长率是30%．
（2）①由题意可知y关于x的函数关系式是y=kx（k≠0）， 由图象经过点（10，12）得：12=10k， 解得：k=．
∴y关于x的函数关系是：y=x（0≤x≤10）；
②由题意可知y=4， ∴
，
，
分钟．
解得：x=
答：五号线从西渡站到奉浦站需要
26．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2，点P是边AB上的一个动点，以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，射线PD交射线AC于点E． （1）当点D与点C重合时，求PB的长；
（2）当点E在AC的延长线上时，设PB=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）当△PAD是直角三角形时，求PB的长．
【考点】三角形综合题．
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AC=AB，根据等腰三角形的性质得到∠PCB=∠B=30°，根据等边三角形的性质即可得到结论；
（2）由等腰三角形的性质得到∠PDB=∠B=30°，求得AE=AP，即可得到结论；
（3）①如图2，当点E在AC的延长线上时，求得∠PDA=90°，根据直角三角形的性质得到PD=AP，解方程得到x=；②如图3，当点E在AC边上时，根据直角三角形的性质得到AP=PD．解方程得到x=．
【解答】解：（1）如图1，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°， ∴AC=AB，
∵AC=2， ∴AB=4，
∵以点P为圆心，PB的长为半径画弧，交射线BC于点D，点D与点C重合， ∴PD=PB，
∴∠PCB=∠B=30°， ∴∠APC=∠ACD=60°， ∴AP=AC=2， ∴BP=2；
（2）∵PD=PB，∠ABC=30°， ∴∠PDB=∠B=30°，
∴∠APE=60°，∠CDE=30°， ∵∠ACD=90°， ∴∠AEP=60°， ∴AE=AP，
∵PB=x，CE=y，
∴2+y=4﹣x，y=2﹣x．（0＜x＜2）；
（3）①如图2，当点E在AC的延长线上时，连接AD， ∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠PAD＜60°， ∴∠PDA=90°， ∴∠PAD=30°． ∴PD=AP， 即x=（4﹣x）， ∴x=；
②如图3，当点E在AC边上时，连接AD
∵△PAD是直角三角形，∠APD=60°，∠ADP＜60°， ∴∠PAD=90°， ∴∠PDA=30°．
∴AP=PD．即4﹣x=x，
∴x=．
综上所述：当PB的长是或时，△PAD是直角三角形．
2016年11月25日
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