关于线性代数课程教学的几点思考

线性代数是代数学的一个分支，“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。

线代课本的前言上就说：“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了。”我们的线代教学的一个很大的问题就是对线性代数的应用涉及太少，课本上涉及最多的只能算解线性方程组了，但这只是线性代数很初级的应用。我自己对线性代数的应用了解的也不多。但是，线性代数在计算机数据结构、算法、密码学、对策论等等中都有着相当大的作用。

一、课程的历史沿某与现状

二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程统称为高等数学，以微积分教学为主，线性代数在高等数学的教学中仅占一小部分。当时仅介绍行列式与线性方程组求解；解析几何内容则相对丰富，几何向量、空间直线与平面、极坐标、二次曲面等通常放在微积分前讲授。当然，有少数大学根据某些专业的需要，讲授更多一些的线性代数（矩阵）的知识。

二、现行的教学基本内容与要求

目前，大多数理工大学的线性代数教学内容基本相同，主要内容涉及：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、特征值与特征向量、二次型等六大板块。一些重点大学的教学内容会更多一些。这既由线性代数本身的基本内容所决定，也与教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求和硕士研究生的考试内容有关。

二十世纪九十年代初，教育部高等教育司委托当时的教学指导委员会对高等学校基础课程教学的基本要求作了修订，修订文件于1995年下发（以下简称95年修订稿）。

线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不

需要知道它的证明过程的每一步，只要能从生活实际想到甚至朦朦胧胧地想到它的“所以然”就行了。

实二次型部分，增添的内容有两处： （a）了解合同变换与合同矩阵的概念；

（b）了解惯性定理（对定理证明不作要求）和实二次型的规范形。 现实中，研究生入学考试的内容对学校的教学影响更大，上述的六大板块都是研究生入学考试命题的范围。

如果参加研究生考试，仅对上述的某些内容“了解”可能是不够的，因个别年份的试题（对后两部分内容而言）还是有一定难度的。近两年，研究生入学考试的命题范围略有扩大，如，增添了分块矩阵的计算，出现了解析几何与线性代数内容综合的试题（尽管较为简单）。试题中联系实际的问题虽然有，但比较少。

三、教学内容的组合与变革

1．现行教材内容的安排

从国内多数大学关于工科专业《线性代数》课程的教材来看，基本内容与教学基本要求大体一致，但各部分内容讲授多少有所不同，章节的安排也不尽相同，只有少数为特殊专业、特殊学生准备的教材，内容更多一些，更深一些。如个别教材增加了矩阵相似的标准型、多项式、仿射变换、射影变换、基本代数结构等内容。

国内教材较多见的内容安排为：

行列式→矩阵→n维向量及向量空间→线性方程组→特征值与特征向量（相似、对角化）→二次型（*）

如把空间解析几何内容加入的话，则在矩阵后介绍几何向量（包括内积、叉积、混合积、直线、平面方程等）二次型后讲授空间曲面。有的教材还含线性变换的内容，一般放在向量空间后或二次型后。

（*）的内容安排较为传统，与传统的《高等代数》内容安排比较一致。 有少数一些教材，采取如下的内容安排：

线性方程组的消元法→矩阵→行列式（含矩阵的秩、逆阵等）→n维向量与方程组的解的结构→特征值与特征向量（相似、对角化）→二次型（**）

（**）的内容安排有意将矩阵放在行列式前讲授，但因传统的矩阵秩的定义离不开行列式，故矩阵的秩、逆矩阵等仍在行列式后讲授。

矩阵是线性代数中最重要的概念，行列式的传统定义对初学者又较难接受，先讲矩阵再讲行列式是多数教师希望采取的授课方式。但因上术寄托因有关矩阵、行列式等概念的内容按排几十年变化不大。不过，近两年有个别教材在这些问题上有所改进。、

线代是一门比较费脑子的课，所以如果前一天晚上睡得太晚第二天早上的线代课就会变成“催眠课”。那么，就应该在第二天有线代课时晚上睡得早一点。如果你觉得上课跟不上老师的思路那么请预习。这个预习也有学问，预习时要“把更多的麻烦留给自己”，即遇到公式、定理、结论马上把证明部分盖住，自己试着证一下，可以不用写详细的过程，想一下思路即可；还要多猜猜预习的部分会有什么公式、定理、结论；还要想一想预习的内容能应用到什么领域。当然，这对一些同学有困难，可以根据个人的实际情况适当调整，但要尽量多地自己思考。

一定要重视上课听讲，不能使线代的学习退化为自学。上课时干别的会受到老师讲课的影响，那为什么不利用好这一小时四十分钟呢？上课时，老师的一句话就可能使你豁然开朗，就可能改变你的学习方法甚至改变你的一生。上课时一定要“虚心”，即使老师讲的某个题自己会做也要听一下老师的思路。

上完课后不少同学喜欢把上课的内容看一遍再做作业。实际上应该先试着做题，不会时看书后或做完后看书。这样，作业可以帮你回忆老师讲的内容，重要的是这些内容是自己回忆起来的，这样能记得更牢，而且可以通过作业发现自己哪些部分还没掌握好。作业尽量在上课的当天或第二天做，这样能减少遗忘给做作业造成的困难。做作业时遇到不会的题可以问别人或参考同学的解答，但一定要真正理解别人的思路，绝对不能不弄清楚别人怎么做就照抄。适当多做些题对学习是有帮助的。

线性代数的许多公式定理难理解，但一定要理解这些东西才能记得牢，理解不需要知道它的证明过程的每一步，只要能从生活实际想到甚至朦朦胧胧地想到它的“所以然”就行了。

2．某些改进

（1）定义矩阵的秩不必借助行列式，而是用矩阵等价的标准型中1的个数来定义矩阵的秩。当然，这需要证明一个矩阵的等价标准型的唯一性，应用反证法和一点分块矩阵的计算即可证明，难度不大。这种改进使得线性代数课程中的矩阵内容（包括秩、逆矩阵）自成体系，可把行列式的内容真正移后，使得上述（**）的做法得以彻底。这一做法可见高教社最新出版的由苏州科技学院主编的线性代数教材。

（2）行列式的定义采用归纳法，即先给出二阶行列式的定义，然后利用行列式的第一行（或列）展开归纳定义行列式。当然，这里也有一个定义的合理性问题。

（3）不少教材在各章节中给出一些内容，如：矩阵、向量、二次型等的应用例子，涉及信号处理、情报检索、图像压缩、统计、机械震动、图论（电路）、管理等各个领域，有助于提高学生学习的积极性和联系实际。

（4）有的教材附有如何使用软件（Matlab）进行计算，如何从某些实际问题中建立简单数学模型的内容：有的教材还提供计算的实例等。 为比较中外教材，简单提一下见到的一些美国教材的内容安排：

线性方程组与矩阵→实向量空间→n维向量与向量空间→线性变换（与矩阵）→特征值与特征向量→行列式→实二次型→一些应用（***）

美国的大学对一、二年级学生不分专业（通才教育）。总的讲，他们用于一、二年级大学生的线性代数教材比我们的要浅，很多结论不给出证明，某些知识不要求彻底，如：线性方程组的内容中不讲AX0的解空间与基础解系，但比较注重工程实用与计算，都附有Matlab等软件的使用，有的还提供算法，计算程序等。当然，一些名牌大学的《线性代数》课程讲的内容较多，有的甚至涉及实矩阵的正交与上三角阵的分解及其他一些分解，Hessenberg标准型等。但是他们教材的一个共同特点是注重线性代数与其他学科的联系，注重应用与计算。 3．几点看法

（1）线性代数课程应该注重与新的计算技术的结合。增加计算机软件使用的

实验课很有必要，特别是不完全按软件手册的方式介绍Matlab的各种用途，而是围绕线性代数课程的教学内容来介绍如何使用Matlab。事实上，工具使用的介绍（如计算尺）在数学教学史上也是出现过的，在今天计算机广泛使用的时代理应增设这一内容。而且，在实验中介绍软件使用所需进间并不太多，关键是重视它。软件使用的介绍最好力求简单，不必讲得太多、太繁，主要是让学生在计算机上实践。为使学生便于使用软件，在日常课堂教学中给出一些数学概念对应的英文是有用的。

（2）线性代数课程要面向应用，满足非数学专业的需要。将一些实际问题或日常生活中的问题，甚至一些趣味问题作为实验的例子建立数学模型并结合计算机软件的使用让学生得出结果，做综合实验是很有益的。数学实验目前在不少学校仍停留在数学建模的比赛上，让这一教学内容真正走进广大学生还很不够。 （3）传统教学内容的变化近几年较为集中在行列式与矩阵的秩的定义以及进授的顺序上。我比较倾向上诉的（**）的教学顺序，即：先由线性方程组引入，然后讲矩阵，矩阵的初等变换，简单的矩阵分块计算，可逆矩阵等，用矩阵等价标准形的唯一性（直接证明它的唯一性）定义它的秩。然后介绍向量组的线性相关性，向量组的秩等。有条件的学校（学时多）可讲授向量空间。接着，完成线性方程组的解的理论。再介绍行列式。

（4）关于行列式的定义，传统的授课方式难点在前，但随后进行列式的性质则较为方便；用行列式展开归纳定义行列式，起始易于学生接受，但后面讲行列式的性质却较为困难，特别是从理论上讲还有一个定义的合理性问题。比较两种方式，我觉得难易程度差不多，一个难点在前，一个难点在后。如果行列式的性质只讲结论不予证明（国内外，特别是国外很多教材就是这样），当然后者为好。 （5）线性方程组解法的完备。传统的教材只给出线性方程组有无解的判定准则和有解时的解的结构及解法，但对于无解的线性方程组则不做交代。事实上，无解的线性方程组可以有最小二乘解（最优的近似解），这在实际问题中是会遇到的（由实验数据建立起来的方程组很可能无解）。目前，国内绝大多数教材都不涉及这一问题，我觉得这是一个空缺，最好补上，况且也不需要增加多少内容。这样，既完备了线性方程组各种情况的处理方法，也对实用有利。事实上，Matlab函数库中已有这种情况的算法。

（6）线性代数与解析几何结合是可取的做法。事实上，非数学专业一般没有几何课程，解析几何的内容不是放在微积分中讲就是放在线性代数中讲，当然二者的侧重点有些不同。有关向量的内容、直线与平面和线性代数结合很自然，对代数与几何的融汇，相互影响是有利的。对于曲线与曲面部分，分析与代数的侧

重点是有些不同，但并不矛盾。线性代数中实二次型的分类的几何背景就是二次曲线与二次曲面的分类，而且，弄清二次曲面的方程对重积分积分区域的确定也有帮助，不足的是曲面的几何直观会有所削弱；另外，代数中不涉及极坐标。国外线性代数教材一般都注重代数与几何的关系。

（7）线性代数与很多数学分支都有联系或在这些领域都有应用，如：近似积分与微分，微分方程组，Markov过程等（这些已在国外教材中可见到，有的还附有软件使用），我们的教材在联系其他数学分支方面显得弱一些，虽然也有一些应用，但总的讲，偏重线性代数自己的理论。

（8）线性代数的“瘦身”与“平民化”，这一点主要是针对一般大学、技术学院的教学而言的。非重点大学的线性代数课一般学时较少，学生的素质也相对弱一些，如按着重点大学的课程内容授课通常行不通。但这些学校的学生人数众多，因而有一个如何让更多的人懂得和应用线性代数的问题。解决这一问题可能只能是将“线性代数”通俗化，即简单化。对一般大学、技术学院的学生我看主要是让他们知道矩阵及运算（包括简单的矩阵分块）、逆矩阵、矩阵的秩、初等变换、如何解一般的线性方程组（不包括基础解系）、行列式计算就可以了，有条件的，可讲一点特征值、特向向量及对称阵。但用软件计算是要让他们掌握的。 根据学生的水平和需要来组织教学应该是搞好教学的关键。

四、课程建设中的成绩与问题

三十年来，线性代数课程从无到有成为工科数学的主要课程之一，经过很多数学同行的努力取得了很大进展，当然也存在不少问题，下面谈一点个人的看法。 1．课程建设取得的成绩

（1）课程的规范性基本确立； （2）教学内容的改革在不断推进； （3）多部教材“百花齐放”；

（4）注重与实际问题的结合和计算软件的使用；

（5）不同学校、不同专业的分层次教学在很多学校已经推开； （6）授课方式的多样性。 2．存在问题

（1）同一性比较突出，各学校的个性不明显：显得课程教学的模式大体相同； （2）教学内容的安排依然受数学专业的教学内容的影响较大，与工科实际问题的结合仍然不够（研究生的教学内容则有较明显的差异），可以简的和可以放的内容简不下来也放不下去；

（3）“低层次”的教材较少见到，特别是缺少适合职业大学、二级学院的教材（这些学校的学生人数在整个高校的学生人数中占很大比例），对这些大学的教学状况关注得也不够；

（4）教学中的应用性和实际计算做的还很不够； （5）与时俱进做的不够。

五、线性代数的主线与核心

线性代数起源之一是解线性方程组。线性方程组几乎是作为一条主线贯穿于线性代数，即使是解析几何，直线、平面方程都是线性的，平面位置关系的确定也与线性方程组解的结构理论相关。至于代数，几乎所有内容都与线性方程组相关，如：

（1）向量组的线性相关性 从解线性方程组的角度看，背景是去掉多余的方程。

（2）矩阵 抽去方程组的未知量与运算符号，即为矩阵。

（3）行列式 Cramer法则，用于解特殊的线性方程组及研究线性方程组的解的结构。

（4）特征值与特征向量 用方程组求属于某一特征值的特征向量。 （5）二次型 用于证明惯性定理等。

线性方程组的实际应用无需多言，因而线性方程组的解法与解的理论在线性代数教学中是一条主线。

线性代数的核心在于矩阵的对角化（可理解的广一些，包括上三角化等），主要手段：初等变换。行列式计算，解线性方程组，求矩阵的秩等都是用初等变换将行列式或矩阵化为地角形或上三角形（含阶梯型）。矩阵相似的标准形，实对称阵正交相似或合同于对角阵，化二次型为标准形，二次曲面的主轴化等都离不开“对角化”。

因此，线性代数教学最好依照它的主线讲出它的核心与主要方法，即通常所说的思想。进一步讲，对角化问题与可逆矩阵（群）在非零向量集合上可迁是密切相关的，而在域上，在非零向量集合是可迁的这一点很容易得到，虽然可迁性在线性代数中的地位并不显要，但它的许多其他数学分支及应用中却很关键。