学期期末试卷含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在中，为三角形所在平面内一点，且，则（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
设直线AD,BC交于点E,并设
,
设
,则
,又
,
,
,
,由E,B,C三点共线得
,所以选C.
，,
2. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( ) A．5 B．10 C．15 D．20 参考答案： B
3. 函数
高点与最低点，且.
为奇函数，
分别为函数图像上相邻的最
，则该函数的一条对称轴为（ ）．
.
.
参考答案：
A
4. 已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3=S6，则数列项和为（ ） A．
或5
B．
或5
C．
D．
的前5
参考答案：
C
【考点】89：等比数列的前n项和；8G：等比数列的性质．
【分析】利用等比数列求和公式代入9s3=s6求得q，进而根据等比数列求和公式求得数列
的前5项和．
【解答】解：显然q≠1，所以，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
前5项和故选：C 5. 函数
．
的大致图像是( )
参考答案：
B
略
6. 已知角a的终边经过点P（m，-3），且cosa，则m等于
A．- B． C．-4 D．4
参考答案： C 略
7. 已知函数
根，则实数a的取值范围是 A．
B．（0，
有且只有两个不相等的实数
1） C．参考答案： A
8. 由曲线y=x，y=
2
D．
围成的封闭图形的面积为( )
A． B． C． D．1
参考答案：
B
考点：定积分在求面积中的应用． 专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：联立两个解析式得到两曲线的交点坐标，然后对函数解析式求定积分即可得到曲线y=x，y=
2
围成的封闭图形的面积．
2
解答： 解：由曲线y=x，y=，联立，因为x≥0，所以解得x=0或x=1
所以曲线y=x与y=故选：B．
2
所围成的图形的面积S=∫0（
1
﹣x）dx=
2
﹣x|0=
31
点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题．
9. 对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 参考答案： B 略
10. 复数 A．
等于（ ）
B．
C．
D．
参考答案：
【知识点】复数的基本概念与运算L4 C
【思路点拨】化简求出值。
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点P（x0，y0）是曲线y=3lnx+x+k（k∈R）图象上一个定点，过点P的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则实数k的值为 ．
参考答案：
2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出曲线的导函数，把x=x0代入即可得到切线的斜率，然后根据过点P0的切线方程为4x﹣y﹣1=0得出切线的斜率从而求出切点的坐标，最后将切点的坐标代入曲线方程即可求出实数k的值．
【解答】解：由函数y=3lnx+x+k知y′=3×+1=+1，
把x=x0代入y′得到切线的斜率k=+1，
因切线方程为：4x﹣y﹣1=0，∴k=4，
∴+1=4，得x0=1，
把x0=1代入切线方程得切点坐标为（1，3），
再将切点坐标（1，3）代入曲线y=3lnx+x+k，得3=3ln1+1+k， ∴k=2． 故答案为：2．
12. 设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且角三角形，则
的取值范围是 ．
，若△ABC不是钝
参考答案：
（1，4]
【考点】余弦定理．
【分析】先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简由角C越大，
越小，求得
的取值范围．
，若△ABC不是钝角三角形，由A+C=
，
为1+
，
【解答】解：三角形ABC中，∵可得
＜C≤
．
利用正弦定理可得显然，角C越大，当C=
=越小．
===1+，
时，cosC=0，则=1；当＜C＜时， =1+∈（1，4）．
综上可得，∈（1，4]，
故答案为：（1，4]．
13. 已知参考答案： 无 略
14. 已知偶函数f（x），当
= .
时，f（x）=2sinx，当时，
，则
参考答案：
15. .的展开式中，x4项的系数为______（用数字作答）．
参考答案：
的展开式的通项公式为
，令
，解得，所以，项的系数为．
16. 如图，在三棱锥A—BCD中，AB，AC，AD两两互相垂直，AB=AC=AD=4，点P，Q分别在侧面ABC棱AD上运动，PQ=2，M为线段PQ中点，当P，Q运动时，点M的轨迹把三棱锥A—BCD分成上、下两部分的体积之比等于 。
参考答案：
略
17. 已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与
的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为
参考答案：
4
，
依题意得小，最小值为4.
，即，因为，所以，当时，的值最
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知二次函数
满足
的两个实数根分别在区间
（1）求实数的取值范围；
，且关于的方程 、
内.
（2）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围.
参考答案：
解：（1）由题知 记
，
则， 即.
（2）令 而
在区间
，函数
， 在区间上是减函数.
，
的对称轴为
上单调递增. 在区间上恒有
上为减函数. ，只需要
从而函数 且
在区间
，
略
19. 已知函数，其中a为常数
(1)若f(x)=0恰有一个解，求a的值；
(2)若函数性；
(3)若f(x)恰有两个零点，
，求证
，其中p为常数，试判断函数g(x)的单调
参考答案：
(1)考查单调性，首先求定义域x>0
令因此
解得x=1
且f(1)=a－1为最大值
当f(1)=0时即a=1时，f(x)=0恰有一个解x=1 当f(1)<0时即a<1时，f(x)=0无解 当f(1)>1时即a>1时，
综上，若f(x)=0恰有一个解，则a=1
，故f(x)=0有两个解
(2)整理函数
首先求解定义域x>0且常数p>0
求导得，且只有有限个零点
因此g(x)在定义域上单调递增
(3)由(1)知，若f(x)=0恰有两个零点，则a>1且等价于xf(x)=0 令h(x)=ax－1－xlnx，(x>0) 求导得记
，解得极大值
，函数h(x)两个零点满足
当0 当x>p时，g(x)>g(p)=0，同理可得因此 20. 已知椭圆C：构成正三角形． +=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q． ①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）； ②当最小时，求点T的坐标． 参考答案： 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a=b+c及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2； 2 2 2 第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由 取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标． 解答： 解：（1）依题意有解得 所以椭圆C的标准方程为+=1． （2）设T（﹣3，t），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0）， ①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，则PQ的斜率． 由?（m2+3）y2﹣4my﹣2=0， 所以， 于是，从而， 即，则直线ON的斜率， 又由PQ⊥TF知，直线TF的斜率，得t=m． 从而，即kOT=kON， 所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证． ②由两点间距离公式得由弦长公式得 ， ==， 所以， 令 “=”号）， ，则（当且仅当x=2时，取 2 所以当 最小时，由x=2=m+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或 22 （﹣3，﹣1）． 点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面： 1、设交点坐标，设直线方程； 2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理； 3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题． 21. 已知椭圆的离心率为，且经过点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)过点A的动直线l交椭圆于另一点B，设交l于点C，求证： 为定值. ，过椭圆中心O作直线BD的垂线 参考答案： 解：(Ⅰ)因为椭圆的离心率，且，所以. 又.故椭圆的标准方程为 （一定存在，且 . . ）. (Ⅱ)设直线的方程为代入 ，并整理得 解得，于是. 又，所以的斜率为. 因为，所以直线的方程为. 与方程联立，解得. 故 为定值. 22. 为迎接2016年到来，某手工作坊的师傅要制作一种“新年礼品”，制作此礼品的次品 率P与日产量x（件）满足P=（c为常数，且c∈N，c＜20），且 * 每制作一件正品盈利4元，每出现一件次品亏损1元． （Ⅰ）将日盈利额y（元）表示为日产量x（件）的函数； （Ⅱ）为使日盈利额最大，日制作量应为多少件？（注：次品率=×100%） 参考答案： 【考点】根据实际问题选择函数类型． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】（Ⅰ）通过y=（4﹣5P）x，分类讨论即得结论； （Ⅱ）利用（I）可知要使日盈利额最大，则0＜x≤c，通过求导可知y′=0得x=15，分0＜c＜15、15≤c＜20两种情况讨论即可． 【解答】解：（Ⅰ）依题意，y=4（x﹣Px）﹣Px=（4﹣5P）x， 当0＜x≤c时，y=（4﹣）x=x， 当x＞c时，y=（4﹣5?）x=0， ∴y=； （Ⅱ）由（I）可知要使日盈利额最大，则0＜x≤c， 此时令y′= 解得：x=15或x=25（舍）， ∴当0＜c＜15时，y′＞0， =0， 此时y在区间（0，c]上单调递增， ∴ymax=f（c）=，此时x=c； 当15≤c＜20时，y在区间（0，15）上单调递增、在区间（15，20）上单调递减， ∴ymax=f（15）=45； 综上所述，若0＜c＜15，则当日制作量为c件时，日盈利额最大； 若15≤c＜20，则当日制作量为15件时，日盈利额最大． 【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容