绝密★启用前
-------------
在
--------------------
四川省德阳市 2019 年中考试卷
数学
_
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟.
此
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中,只有 A B C D
5.如图是某射击选手 5 次设计成绩的折线图，根据图示信息，这 5 次成绩的众数、中位
_ --------------------
__ 一项是符合题目要求的)
__ __ __ 1.实数
1
的相反数是 ___
卷2
_
A. 2
B. 1
号
--------------------C.2D.0.5生
2
考 ____ 2.如图，直线 a∥b ， A 38 ， 1 46 ，则 ACB 的度数是 __
____ _ __ _
__ 上 -------------------- __ _
_ __ _ _ _名_ A. 84 B.106 C. 96 D.104 姓 __ __ 答 _
3.下面 运算正确的是
__ -------------------- __
A. a2 a 2a4 B. a3 a
2 a6 __
__ C. 2a6 a2 2a3 D. a 2 4 a 8
__ __
4.如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是__ 题
__-------------------- 校
学
业
毕
无
--------------------
效 ---
数学试卷 第 1 页（共 22 页）
( )( )( ) ) 数分别是 ( )
A.7、8 B.7、9 C.8、9 D.8、10
6.己知 e O1 与2
e O 的半径分别是 3 cm 和 5 cm ，两圆的圆心距为 4 cm ，则两圆的位置关
系是 ( )
A
.相交 B.内切 C.外离 D.内含
7.已知 0≤x≤1
2
，那么函数 y 2 x2 8x 6 的最大值是
(
)
A. 10.5
B.2 C. 2.5 D. 6
8.如图所示，边长为 2 的正三角形 ABO 的边 OB 在 x 轴上，将 △ABO 绕原点 O 逆时针
旋转 30 得到三角形 OA 1B 1，则点 1 A 的坐标为
( )
A. ( 3,1) B. ( 3, 1) C. (1, 3) D. (2, 1)
数学试卷 第 2 页（共 22 页）
(
-------------
9.下列说法中正确的个数是
(
)
①不可能事件发生的概率为 0；
②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值；
④收集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率. A.1 B.2 C.3 D.4
10.如图，在 Rt△ ABC 中，ACB 90 ，点 D 是 AB 的中点，且 CD 5
2 ，如果 Rt△ABC
的面积为 1，则它的周长为 ( )
A.
5 1 B.5C. 5 2 D. 5 3
2 1 11.如图，四边形 ABCD 中，AB AD ，AD∥BC ，ABC 60 ，BCD 30 ，BC 6 ，那么 △ACD 的面积是 ( )
3 A. 3
B.
C.23
2
D. 3 12.已知方程 3aa 4
a 1 x，且关于＞a
4 ax的不等式组 x
≤b只有 4个整数解，那么 b的取
值范围是
(
)
A. 1 b≤3
B. 2＜b≤3
C. 8≤b＜9
D. 3≤b＜4
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分.不需写出解答过程，请把最后结
果填在题中横线上.
13.下列运算正确的个数有
个.
①分解因式 ab2 2ab a 的结果是 a(b 1)2 ；② (2)0 0 ；③ 3 3 3 3 .
14.一组数据 3，4，5，x，7，8 的平均数为 6，则这组数据的方差是
.
15.半径为 1 的圆内接正三角形的边心距为
. 16.如图， △ABC 中，∠A 60 ，将 △ABC 沿 DE 翻折后，点 A 落在 BC 边上的点 A'
数学试卷 第 3 页（共 22 页）
处.如果∠A' EC 70 ，那么 A' DE 的度数为 .
-------------
在
--------------------
此 17.如图，直线 a∥b ， △ABC 是等边三角形，点 A 在直线 a 上，边 BC 在直线 b 上，把--------------------△
ABC 沿 BC 方向平移 BC 的一半得到 A△ ' B 'C '（如图①）
；继续以上的平移得到图 ②，再继续以上的平移得到图③，…；请问在第 100 个图形中等边三角形的个数 是 .
卷
--------------------
① ② ③
18.在四边形 ABCD 中， AD∥BC ，∠ABC 90， AB BC ，E 为 AB 边上一点，
∠BCE 15 ，且 AE AD .连接 DE 交对角线 AC 于 H，连接 BH.下列结论正确的
上 是 .（填番号）
--------------------① AC DE ；② BE
HE 1 S；③VBEHDH 2 CD 2DH ；④ S
. BEC
AC
答
--------------------
题
--------------------三、解答题
(本大题共 5 小题,共 66 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19.计算： 25
( 1
2
)1 16 8 2cos60 .
无
--------------------
---效20.为增强环境保护意识，争创“文明卫生城市” 某企业对职工进行了依次“生产和
数学试卷 第 4 页（共 22 页）
__ ____
_ __
_ _ __ _ __ 号 生考 ____ _ __ ___ _ _ _ _ __ ___ _ __ __ __ 名__ _ 姓 ___
_
__
____
__ ____ __ 校 学
业
毕
居住环境满意度”的调查，按年龄分组，得到下面的各组人数统计表：
各组人数统计表
组号
年龄分组 频数（人）
频率 第一组 20≤x＜25
50 0.05 第二组
25≤x＜30 a 0.35
第三组
30≤x＜35
300 0.3 第四组
35≤x＜40
200 b 第五组
40≤x＜45
100
0.1
((1)求本次调查的样本容量及表中的2)调查结果得到对生产和居住环境满意的人数的频率分布直方图如图，政策规
a、b 的值；
定：本次调查满意人数超过调查人数的一半，则称调查结果为满意.如果第一组满 意人数为 36，请问此次调查结果是否满意；并指出第五组满意人数的百分比； (宣传员，在这3)从第二张和第四组对生产和居住环境满意的职工中分别抽取 5 人中随机抽取 2 人介绍经验，求第二组和第四组恰好各有 3 人和 2 人作义务 1 人被抽 中介绍经验的概率。
21.如图，已知矩形 OABC 的一个顶点 B 的坐标是 (4,2) ，反比例函数 y k
( x＞0) 的图象经过矩形的对称中心 x E，且与边 BC 交于点 D. (1)求反比例函数的解析式和点(2)若过点 n D 的坐标；
D 的直线 y mx 将矩形 OABC 的面积分成 3:5 的两部分，求此直线 的解析式.
22.为落实国家“三农”政策，某地政府组织 40 辆汽车装运 A、B、C 三种农产品共
数学试卷 第 5 页（共 22 页） 200 吨到外地销售，按计划，40 辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且 必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题.
农产品种类 A B C
每辆汽车的装载量（吨） 4 5 6
(1)如果装运 C 种农产品需 13 辆汽车，那么装运 A、B 两种农产品各需多少辆汽
车？
(2)如果装运每种农产品至少需要 11 辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每 种装运方案.
22.如图， e O 中，FG、AC 是直径，AB 是弦， FG AB ，垂足为点 P，过点 C 的直
线交 AB 的延长线于点 D，交 GF 的延长线于点 E，已知 AB 4 ， e O 的半径为
5 .(1
)分别求出线段 AP、CB 的长；
(2)如果 OE 5 ，求证：DE 是 e O 的切线； (3)如果 tan E 3
，求
2 DE 的长.
23.如图，已知抛物线经过点 A(2,0) 、 B(4,0) 、 C(0, 8) .
(1)求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标；
(2)直线 CD 交 x 轴于点 E，过抛物线上在对称轴的右边的点 P，作 y 轴的平行线交
x 轴于点 F， 交直线 CD 于 M，使 PM 1
5EF
，请求出点 P 的坐标；
(3)将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与(2)中的线段 EM 总有交点，那么抛物线 向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度.
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四川省德阳市 2019 年中考试卷
数学答案解析
一、选择题
1.【答案】B
【解析】根据相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案 . 解： 1
1
2 相反数是 2 ，
故选：B.
【考点】相反数.
2.【答案】C
【解析】根据两直线平行，内错角相等可得 ABC 1 ，再根据三角形的内角和定理列
式计算即可得解。
解答：解：∵ a∥b ，
∴ ABC 1 46 ，
∵ A 38 ，
∴ ACB 180 A ABC 180 38 46 96 .
故选 C.
【考点】平行线的性质
3.【答案】D
【解析】A、原式不能合并，错误；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用单项式除以单项式法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断 .
解：A、原式不能合并，错误；
B、原式 a5 ，错误；
C、原式 2a4，错误；
D、原式 a8 ，正确，故选 D
【考点】整式的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方
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4.【答案】B
【解析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可.
解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有 3 个正方形，第三横行中
间有一个正方形.
故选 B.
【考点】简单组合体的三视图
5.【答案】A
【解析】由折线图可知，射击选手五次射击的成绩为： 7、7、8、10、9，再根据众数、
中位数的计算方法即可求得.
解：射击选手五次射击的成绩为：7、7、8、10、9，
∴众数为 7，中位数为 8，故选：A.
【考点】折线统计图，中位数，众数
6.【答案】A
【解析】先求两圆半径的和或差，再与圆心距进行比较，确定两圆位置关系 .
解： e O1
和2 1 e2 O 的半径分别为 5 cm 和 3 cm ，圆心距 O O 4 cm ，
5 3＜4＜5 3 ，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知e O 1与 e O 相交. 故选 A.
2
【考点】圆与圆的位置关系.
7.【答案】C
【解析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值 .
解答：
解：∵ y 2 x2 8x 6 2( x 2)2 2 ．
∴该抛物线的对称轴是 x 2 ，且在 x＜2 上 y 随 x 的增大而增大．
又∵ 0≤x≤1
2，
∴当 x 1 2 时，y 取最大值， y最大 2
1 22 2
2.5.
2
数学试卷 第 8 页（共 22 页）
故选：C.
【考点】二次函数的最值
8.【答案】B
【解析】设 A1 B 1
与 x 轴相交于 C，根据等边三角形的性质求出 OC、 A C1
，然后写出点
A1
的坐标即可.
解：如图，设 A 1B 与 x 轴相交于 C，
△ABO
1 是等边三角形，旋转角为 30 ，
∴
A1 OC
60 30 30 ，
∴ A1 B ⊥x 轴，
∵等边
1
△ABO 的边长为 2，
∴ OC 3
2
∴ AC12 3
1 2
2 1 ，点 A的坐标为( 3,1) .
1 故选 B.
【考点】坐标与图形变化——旋转，等边三角形的性质
9.【答案】C
【解析】利用概率的意义、利用频率估计概率的方法对各选项进行判断后即可确定正确
的选解解：①不可能事件发生的概率为 0，正确；
②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大，正确；
③在相同条件下，只要试验的次数足够多，频率就可以作为概率的估计值，正确；④收
数学试卷 第 9 页（共 22 页） 集数据过程中的“记录结果”这一步，就是记录每个对象出现的频率，错误，故选
C.
【考点】利用频率估计概率，概率的意义
10.【答案】D
【解析】根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AB 5 ；然后利用勾股
定理、三角形的面积求得（ AC BC ）的值，则易求该三角形的周长.
解答：解：如图，∵在 Rt△ ABC 中， ACB 90 ，点 D 是 AB 的中点，且 CD 5
.
2
∴ AB 2CD 5
∴ AC 2 BC 2 5 又 Rt△ ABC 的面积为 1，
∴ AC BC 1 ，则 AC·BC 2 .
∴ ( AC BC)2 AC 2 BC 2 2 AC BC 9 ， ∴ AC BC 3 （舍去负值），
∴ AC BC AB 3 5 ，即 △ABC 的周长是 3 5 .
故选：D.
【考点】勾股定理，直角三角形斜边上的中线
11.【答案】A
【解析】如图，过点A 作 AE BC 于 E，过点 D 作 DF BC 于 F.构建矩形 AEFD 和直
角三角形，通过含 30 度角的直角三角形的性质求得 AE 的长度，然后由三角形的面
积公式进行解答即可.
解：如图，过点 A 作 AE BC 于 E，过点 D 作 DF BC 于 F.设 AB AD x .
又 AD∥BC ，
∴四边形 AEFD 是矩形，
∴ AD EF x .
在 Rt△ ABE 中， ABC 60 ，则 BAE 30 ，
∴ BE AB x ，
∴ DF AE AB 2 BE 2 3
2 x ，
数学试卷 第 10 页（共 22 页）
∴在 Rt△ CDF 中， FCD 30 ，则 CF DF cot30 x .
又 BC 6 ，
∴ BE EF CF 6 ，即 x x x 6 ，解得 x 2
∴ △ACD 的面积是： AD DF x 33 2 x
22
3， 4
故选 A.
【考点】勾股定理，含 30 度角的直角三角形.
12.【答案】D
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 a 的值，经检验确定
出分式方程的解，根据已知不等式组只有 4 个正整数解，即可确定出 b 的范围. 解：分式方程去分母得：
3 a a 2 4a 1，即 (a 4)(a 1) 0 ，解得：a 4 或 a 1 ，
经检验 a 4 是增根，分式方程的解为 a 1 ，已知不等式组解得： 1＜x≤b ，
∵不等式组只有 4 个 3 整数解，
∴ 3≤b＜4 .
故选 D
【考点】分式方程的解，一元一次不等式组的整数解
二、填空题
13.【答案】1
【解析】①先提取公因式 a，再根据完全平方公式进行二次分解；②根据任何非零数的
零指数次幂等于 1 解答；③合并同类二次根式即可.
解：① ab2 2ab a ，
a
b2 2b 1
，
a(b 1)2 ，故本小题正确；② (2)0 1 ，故本小题错误；
③ 3 3 3 2 3 ，故本小题错误；综上所述，运算正确的是①共 1 个.
数学试卷 第 11 页（共 22 页） 故答案为：1.
【考点】提公因式法与公式法的综合运用，零指数幂，二次根式的加减法 14.【答案】
143
【解析】先由平均数的公式计算出 x 的值，再根据方差的公式计算.
解答：解：3，4，5，x，7，8 的平均数是 6，
∴ x 9 ，
∴ s2
(3.6)2
(4.6)2
(5.6)2
2
2
2
14
(9.6) (7.6) (8.6) 28 3
故答案为： 14
.
3
【考点】方差，算术平均数 15.【答案】
1
2
【解析】作出几何图形，再由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知
外接圆半径和特殊角，可求得边心距.
解：如图， △ABC 是 e O 的内接等边三角形， OB 1 ， OD BC .
∵等边三角形的内心和外心重合，
∴OB 平分∠ABC ，则∠OBD 30 ；
∵ OD BC ，
∴ BD DC ，
又∵ OB 1 ，
∴ OD 1
.
2 故答案是： 1
2 .
【考点】正多边形，圆
数学试卷 第 12 页（共 22 页）
16.【答案】 65
【解析】首先求得∠AEA'，根据折叠的性质可得∠A'ED=∠AED=∠AEA△'，在 A'DE 中利
用三角形内角和定理即可求解。
解答：
解： AEA' 180 A ' EC 180 70 110 ，
又∵ A ' ED AED AEA ' 55 ， DA ' E A 60 ， ∴ A 'DE 180 A ' ED DA ' E 180 55 60 65 .
故答案是： 65 .
【考点】翻折变换（折叠问题）
17.【答案】301
【解析】先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第 n 个图形中大等边三角
形有 n 1 个，小等边三角形有2n 个，据此求出第 100 个图形中等边三角形的个数.
解答：解：如图①
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB BC AC ，
∵ A' B '∥AB ， BB ' B 'C BC
∴ B 'O AB ， CO AC ，
∴
B△ 'OC 是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形.
又观察图可得，第 1 个图形中大等边三角形有 2 个，小等边三角形有 2 个，第 2 个图形
中大等边三角形有 3 个，小等边三角形有 4 个，第 3 个图形中大等边三角形有 4 个，
小等边三角形有 6 个，…
依次可得第 n 个图形中大等边三角形有 n 1 个，小等边三角形有 2n 个.
故第 100 个图形中等边三角形的个数是：100 1 2 100 301 .
故答案为：301.
数学试卷 第 13 页（共 22 页） ①
【考点】等边三角形的判定与性质，平移的性质.
18.【答案】①③④
【解析】在等腰直角△ ADE 中，根据等腰三角形三线合一的性质可得 AH⊥ED ，即
AC⊥ED ，判定①正确；进而可判定③；因为 △CHE 为直角三角形，且∠HEC 60
所以 EC 2EH ，因为 ECB 15 ，所以 EC 4EB ，所以 BE1
HE 不成立②错误；
2
根据全等三角形对应边相等可得
CD CE ，再求出 CED 60 ，得到 △CDE 为等
边 三 角 形 ， 判 定 ③ 正 确 ； 过 H 作 HM⊥AB 于 M ， 所 以 HM∥BC ， 所 以
△AHM∽△ABC ，利用相似三角形的性质以及底相等的三角形面积之比等于高之
比即可判定④正确.
解：△ BAD 90 ， AB BC
∴ BAC 45
∴ CAD BAD BAC 90 45 45
∴ BAC CAD
∴ AH ED
即 AC⊥ED ，故①正确；
∵ △CHE 为直角三角形，
∴ EC 2EH ，
∵ ECB 15
∴ EC 4EB ，
△ EH 2EB ，故②错误.
∵ BAD 90 ， AB BC ，
∴ BAC 45 ，
∴ CAD BAD BAC 90 45 45 ，
∴ BAC CAD
在 △ACD 和 △ACE 中，
数学试卷 第 14 页（共 22 页）
AE AD BAC CAD ，
AC AC ∴ △ACD≌△ACE (SAS ) ，
∴ CD CE ，
∴ BCE 15 ，
∴ BCE =BCE 90 15 75 ，
∴ CED 180 BEC AED 180 75 45=60 ，
∴ △CDE 为等边三角形，
△ DCH 30
CD 2DH ，故③正确；
过 H 作 HM⊥AB 于 M，
∴ HM∥BC ，
△AHM∽△ABC
∴ NHAH BC AC
∵ DH AH
∴ DHAC HM
BC
∵ △BEH 和 △CBE 有公共低 BE，
∴ S MH SV DH
BEH
，故④正确，
故答案为：①③④.V BEC
BC AC
【考点】直角梯形，全等三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形，等腰直角三
数学试卷 第 15 页（共 22 页）
角形
三、解答题
19.【答案】解：原式 32 2 4 1 33 .
【解析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利
用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果.
【考点】实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值.
20.【答案】
（1）调查总人数： 50 0.05 1000 （人），
则 a 1000 0.35 350 ，
b 200
1000 0.2 ；
（2）满意的总人数是： 36 0.06 600 （人），
则调查的满意率是： 600
1000 =0.6 ，则此次调查结果为满意；
第五组的满意人数是： 600 0.16=96 （人），
则第五组的满意率是： 96
100 100% 96% ；
（3）用 A 表示从第二组抽取的人，用 B 表示从第四组抽取的人.
总共有 20 种情况，则第二组和第四组恰好各有 1 人被抽中的概率是： 1220 =3
5 .
【解析】（1）根据第一组的人数是 50，频率是 0.05 即可求得总人数，则根据频率公式
即可求得 a、b 的值；
（2）根据第一组的频数是 36 人，频率是 0.06 据此即可求得调查的总人数，则满意度
即可求得；
（3）用 A 表示从第二组抽取的人，用 B 表示从第四组抽取的人，利用列举法即可求
解。
【考点】频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法.
21.【答案】解：
（1）∵矩形 OABC 的顶点 B 的坐标是 (4,2) ，E 是矩形 ABCD 的对称
数学试卷 第 16 页（共 22 页）
中心，
∴点 E 的坐标为 (2,1)，代入反比例函数解析式得， k
1，解得
2 k 2 ，
∴反比例函数解析式为 y 2
x ，点 D 在边 BC 上，
∴点 D 的纵坐标为 2，
∴ y 2 时， 2
x 2 ，解得 x 1 ，点 D 的坐标为 (1,2)；
（2）如图，设直线与 x 轴的交点为 F，矩形 OABC 的面积 4 2 8 ，
∵矩形 OABC 的面积分成 3:5 的两部分，
∴梯形 OFDC 的面积为 33 55
8 3 ，或 3 5 5
因为点 D 的坐标为 (1,2)，
∴若 (1 OF ) 2 3 ，
解得 OF 2 ，
此时点 F 的坐标为 (4,0) ，与点 A 重合， 当 D(1,2) ， F (2,0)m n 2
时，
， 2m n 0 解得m 2
，
此时，直线解析式为 n 4
y 2x 4 。
当 D(1,2) ， F (4,0) 时， m n 2
，
4m n 0
m2 解得 3 n 8 3 此时，直线解析式为 y 2 8
3x 3，
综上所述，直线的解析式为 y 2x 4 或 y 2 3x 8
.
3
数学试卷 第 17 页（共 22 页）
【解析】（1）根据中心对称求出点 E 的坐标，再代入反比例函数解析式求出 k，然后根
据点 D 的纵坐标与点 B 的纵坐标相等代入求解即可得到点 D 的坐标；
（2）设直线与 x 轴的交点为 F，根据点 D 的坐标求出 CD，再根据梯形的面积分两种
情况求出 OF 的长，然后写出点 F 的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求
出直线解析式即可.
【考点】矩形的性质，待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析
式
22.【
答案】
（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车.则 x y 13 40
4 x 5 y 13 6 200
解得 x 13
y 14
答：装运 A、B 两种农产品各需 13、14 辆汽车； （2）设装运 A、B 两种农产品各需 x、y
辆汽车.则
4x 5 y 6(40 x y) 200
解得 y 2x 40
x 11 x 11由题意可得如下不等式组： y 11 ，即 2x 40 11 ， 40
x y 11 40 x (2x 40) 11
解得：11 x 14.5
因为x是正整数，
所以x的值可为11，12，13，14；共4个值，因而有四种安排方案.
数学试卷 第 18 页（共 22 页）
方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C
Rt在△
方案二：12车装运A，16车装运B，12车装运C.
BD3
BCD 中， BC 2 ， tan DCB ，
BC 2
方案三：13车装运A，14车装运B，13车装运C.
∴ BD 3 ，
方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C. 【考点】二元一次方程组和一元一次不等式组的应用
∴ CD BC 2 BD 2 13 ， ∵ BC∥EP ， ∴
（1）∵AC 为直径， 23.【答案】
DCDB 13 3 ， ，即
DE DP DE 3 2
∴ ABC 90 ，
在 Rt△ ABC 中， AC 2 5 ，
∴ BC AC 2 AB 2 2 ， ∵直径 FG AB ，∴ AP BP 1
2 AB 2 ；
（2）∵ AP BP ，
∴OP 为 △ABC 的中位线，
∴ OP 1
2 BC 1，
∴ OC
5
OP 1 ， 而 OE5
OA
55，
∴ OCOP OE
OA，
∵ EOC AOP ，
∴ △EOC∽△AOP ，
∴ OCE OPA 90 ，
∴ OC DE ，
∴DE 是 e O 的切线；
（3）∵ BC∥EP ，
∴ DCB E ，
∴ tan DCB tan E 3
2 ,
AB 4 ，
数学试卷 第 19 页（共 22 页）∴ DE 5 13
3 .
【解析】（1）根据圆周角定理由 AC 为直径得 ABC 90 ，在 Rt△ ABC 中，根据勾股
定理可计算出 BC 2 ，再根据垂径定理由直径 FG AB 得到
AP BP
1
2
AB 2 ；
（2）易得 OP 为 △ABC 的中位线，则 OP 1 5 OE BC 1，再计算出OC 2，根 OP 1
OA
据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP ，根据相似的性质得到
OCE OPA 90 ，然后根据切线的判定定理得到 DE 是 e O 的切线；
（3）根据平行线的性质由 BC∥EP 得到 DCB E ，则 tan DCB tan E 3
2 ，在
Rt△ BCD 中，根据正切的定义计算出 BD 3然后根据平行线分线段成比例定理得 DC ，根据勾股定理计算出 CD 13 ，
DBDE
DP，再利用比例性质可计算出
DE 5 13
3 .
【考点】切线的判定
24.【答案】
（1）根据题意可设抛物线的解析式为 y a( x 2)(x 4) .
∵点 C(0, 8) 在抛物线 y a( x 2)(x 4) 上，
∴ -8a 8 .
∴ a 1 .
∴ y ( x 2) ( x 4) x2 2 x 8 ( x 1)2 9 .
∴抛物线的解析式为 y x2 2 x 8 ，顶点 D 的坐标为 (1,9) ；
（2）如图，
数学试卷 第 20 页（共 22 页）
设直线 CD 的解析式为 y kx b .
∴0 b 8
k b 9
解得： k 1
. b 的解析式为 8∴直线 CD
y x 8 .
当 y 0 时， x 8 0 ，
则有 x 8 .
∴点 E 的坐标为 (8,0) .
设点 P 的坐标为 (m, n) ，
则 PM (m2 2m 8) (m 8) m2 m ， EF m (8) m 8 .∵ PM 1 5
EF ，
∴ m2 m 1
5
(m 8) .
整理得： 5m2 6m 8 0 .
∴ (5m 4)(m 2) 0 ，
解得： m4
1 ， m 2
5 2 .
∵点 P 在对称轴 x 1 的右边，
∴ m 2 .
此时， n 22 2 2 8 -8 .
∴点 P 的坐标为 (2, 8) ；
数学试卷 第 21 页（共 22 页）
（3）当 m 2 时， y 2 8 10 .
∴点 M 的坐标为 (2, 10) .
设平移后的抛物线的解析式为 y x2 2 x 8 c ，
①若抛物线 y x2 2 x 8 c 与直线 y x 8 相切，
则方程 x2 2 x 8 c x 8 即 x2 x c 0 有两个相等的实数根.
∴ (1)2 4 1 c 0 .
∴ c 1 .
4 ②若抛物线 y x2 2 x 8 c 经过点 M，
则有 22 2 2 8 c 10 .
∴ c 2 .
③若抛物线 y x2 2 x 8 c 经过点 E， 则有 (8)2 2 (8) 8 c 0 .
∴ c 72 .
综上所述：要使抛物线与（2）中的线段 EM 总有交点，抛物线向上最多平移 1
4个单位
长度，向下最多平移 72 个单位长度.
【解析】（1）由于抛物线与 x 轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：
y a( x 2)(x 4) ，然后将点 C 的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析
式配成顶点式，即可得到顶点坐标.
（2）先求出直线 CD 的解析式，再求出点 E 的坐标，然后设点 P 的坐标为 (m, n) ，从而可以用 m 的代数式表示出 PM、EF，然后根据 PM 1
5EF
建立方程，就可求出 m，
进而求出点 P 的坐标.
（
3）先求出点 M 的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为 y x2 2 x 8 c ，然后
只需考虑三个临界位置（①向上平移到与直线 EM 相切的位置，②向下平移到经过
点 M 的位置，③向下平移到经过点 E 的位置）所对应的 c 的值，就可以解决问题.
【考点】二次函数综合题.
数学试卷 第 22 页（共 22 页）
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