特征根法和不动点法在求数列通项公式中的应用

吴继崟 杨成武 山东省滨州市邹平县黄山中学

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈.本文结合几个例题进行展示 、探讨，重点强调求解数列通项公式过程中——特征根法的运用，希望能对喜欢研究高中数学的朋友有所帮助.

一、不动点法 当f(x)x时，x的取值成为不动点，不动点是在较高要求测试中解决递推式的基本方法。下面通过几个例题，展示不同情况下的不动点的用法. 类型一、已知a1=b，an+1=can+d（c0,c1,）求数列{an}的通项公式.

1例1．已知数列{an}满足：an1an2,nN,a14,求an.

313解：作方程xx2,则x0.a1x0

32313313则 an1()(an2)() ，整理得an1+（an+)

23223213311｛an+｝即数列是以a1+=为首项，为公比的等比数列

322231111113所以 an+()n1,an()n1.

223232类型二、已知a1=，对于nÎN，都有an+1=px+q, rx+hpan+q，求数列{an}的通项公式。

ran+h可作特征方程x=（Ⅰ）当特征方程有且仅有一根x0时, （1）如果a1=x0则an=x0；

禳镲1（2）如果a1¹x0则镲是等差数列。 睚镲a-x0镲铪n禳镲an-x1 （Ⅱ）当特征方程有两个相异的根x1、x2时，则镲是等比数列。 睚镲an-x2镲铪例2.已知数列{an}满足：对于nÎN,都有an+1=13an-25.（1）若a1=5,求an;（2）若

an+3a1=3,求an;（3）若a1=6,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？

13x-25.变形得x2-10x+25=0, x+3特征方程有两个相同的特征根l=5.

解：作特征方程x=(1)∵a1=5,\\a1=l.\\对于nÎN,都有an=l=5; (2)∵a1=3,\\a1?l.，an1513an258a405n.

an3an311(an3)(an58)an311188 an158an40an5an5an58数列｛111｝是首项为-,公差为的等差数列an528

1115n17=-(n1)anan528； n5

(3)∵a1=6,l=5,∴a1¹l. ∴an1513an258a405n.

an3an311(an3)(an58)an311188 an158an40an5an5an58数列｛11｝是首项为1,公差为的等差数列an58

11n+75n43=1(n1)=，an an588n7(4)、显然当a1=-3时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，a15时，数列{an}是存在的，当a1?l5时，则有

1111n15n-130,则得a1=(n1)d,nN.令,n?N且n≥

ana1a158ann-12.

∴当a1=5n-13（其中nÎN且N≥2）时，数列{an}从第n项开始便不存在。 n-15n-13于是知：当a1在集合{-3或:nÎN,且n≥2}上取值时，无穷数列{an}都不存

n-1在.

例3已知数列{an}满足性质：对于nN,an+1an4,且a1=3,求{an}的通项公式. 2an3解: 数列{an}的特征方程为x=x+4,变形得2x2+2x-4=0,其根为l1=1,l2=-2.故2x+3特征方程有两个相异的根，则有

an11an4an+11 2an32an3an45a10（-2）n 2an32an3an1（-2）an11a1(an1)a21则n1 ，n1

an1an125(an2)5an2数列｛an11｝为公比-的等比数列. an25从上面的解答不难看出特征根法在某些特殊的数列递推题型中有比较轻巧灵活简便的运用，而离开特征根法，这些题目不仅难度较大，运算较烦，其实特征根法在许多的数学分支领域、科学应用领域都有着广泛的应用.