乐平市乐平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 函数f(x)2cos(x)（0，0）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.32 B.1 C. 2 D. 3 【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用

. 2． 已知a,b,c为ABC的三个角A,B,C所对的边，若3bcosCc(13cosB)，则sinC:sinA（ A．2︰3 B．4︰3 C．3︰1 D．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力． 3． 已知是虚数单位，若复数3i(ai)（aR）的实部与虚部相等，则a（ ）

A．1 B．2 C． D． 4． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A．16163 B．163216323 C．83 D．83 【命题意图】本题考查三视图、圆柱与棱锥的体积计算，意在考查识图能力、转化能力、空间想象能力．

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）

abc等于（ ）

sinAsinBsinC2393983A．33 B． C． D．

3236． 若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为( )

5． 在ABC中，A60，b1，其面积为3，则A5 B4 C3 D2

7． 若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足CMxCAyCB， 则当

14取最小值时，CMCN（ ） xyz所对应的点为(2,1)，i是虚数单位，则z（ ） 1i B．3i C．3i D．3i

A．6 B．5 C．4 D．3 8． 在复平面内，复数A．3i

log2（a－x），x＜1

9． 已知函数f（x）＝x若f（－6）＋f（log26）＝9，则a的值为（ ）

2，x≥1

A．4 C．2

B．3 D．1

10．底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ ） A．36π C．60π

B．48π D．72π

11．2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取

20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分

层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（ ） A. 5 B.6 C.7

D.10

【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.

12．已知a(2,1)，b(k,3)，c(1,2)c(k,2)，若(a2b)c，则|b|（ ） A．35 B．32 C．25 D．10 【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．

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二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

xìïe,x³0213．已知f(x)=í，则不等式f(2-x)>f(x)的解集为________．

ïî1,x<0【命题意图】本题考查分段函数、一元二次不等式等基础知识，意在考查分类讨论思想和基本运算能力．

x2y214．已知过双曲线221(a0,b0)的右焦点F2的直线交双曲线于A,B两点，连结AF1,BF1，若

ab|AB||BF1|，且ABF190，则双曲线的离心率为（ ）

A．522 B．522 C．632 D．632

【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．

15．设向量a＝（1，－1），b＝（0，t），若（2a＋b）·a＝2，则t＝________．

16．已知圆C：xy2x4ym0，则其圆心坐标是_________，m的取值范围是________． 【命题意图】本题考查圆的方程等基础知识，意在考查运算求解能力.

22三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a、b、c，不等式x2cos C＋4xsin C＋6≥0对一切实数x恒 成立.

（1）求cos C的取值范围；

（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的 形状.

【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.

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x2y2

18．（本小题满分12分）椭圆C：2＋2＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，A，B

ab

1

是C的长轴上的两个顶点，已知|PF|＝1，kPA·kPB＝－.

2（1）求椭圆C的方程；

（2）过椭圆C的中心O的直线l交椭圆于M，N两点，求三角形PMN面积的最大值，并求此时l的方程．

19．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为

极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系； （2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

20．如图，A地到火车站共有两条路径

和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所

用时间落在个时间段内的频率如下表：

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现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 。

21．（本题满分13分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：x2y60相切，设点A为圆上 一动点，AMx轴于点M，且动点N满足ON（1）求曲线C的方程；

（2）若动直线l2：ykxm与曲线C有且仅有一个公共点，过F1(1,0)，F2(1,0)两点分别作F1Pl2，

131OA()OM，设动点N的轨迹为曲线C. 232F1Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P

到点Q的距离，试探索(d1d2)d3是否存在最值？若存在，请求出最值.

22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)xa(aR).

（1）当a1时，解不等式f(x)2x11；

（2）当x(2,1)时，x12xa1f(x)，求的取值范围.

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乐平市乐平中学2018-2019学年上学期高三期中数学模拟题（参考答案）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1． 【答案】D

211552.由22k（k），得2k)，∴T1212126555)，则f(0)2cos()3，故选D. （kZ），可得，所以f(x)2cos(2x666【解析】易知周期T2(2． 【答案】C

【解析】由已知等式，得c3bcosC3ccosB，由正弦定理，得sinC3(sinBcosCsinCcosB)，则

sinC3sin(BC)3sinA，所以sinC:sinA3:1，故选C．

3． 【答案】A ． 【

解

析

】

考

点：复数运算 4． 【答案】D

【解析】由三视图知几何体为一个底面半径为2高为4的半圆柱中挖去一个以轴截面为底面高为2的四棱锥，因此该几何体的体积为V5． 【答案】B 【解析】

11322244428，故选D． 233113bcsinAbcsin600bc3，所以bc4，又b1，所224222220以c4，又由余弦定理，可得abc2bccosA14214cos6013，所以a13，则试题分析：由题意得，三角形的面积Sabca13239，故选B． 0sinAsinBsinCsinAsin603考点：解三角形．

【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中

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利用比例式的性质，得到6． 【答案】C

abca是解答的关键，属于中档试题．

sinAsinBsinCsinA【解析】由已知，得{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，所以集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为3. 7． 【答案】D 【解析】

试题分析：由题知BMCMCBxCA(y1)CB，设BBACACB；MkBA可得xy1，当

，则xk,y1k，

14y4x14144xy时取到，此取最小值时，xy5，最小值在xyxyxyxyyx211CACB代入，则时y,x，将CMxCAyCB,CN3322211xy12CMCNxCAyCBCACB3xy33.故本题答案选D.

22233考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 8． 【答案】D

【解析】解析：本题考查复数的点的表示与复数的乘法运算．9． 【答案】

【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9. 即log2（a＋6）＝3，

∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C. 10．【答案】

【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b， 则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，

1

又V四棱锥P－ABCD＝S矩形ABCD·PO

3

12＝abR≤R3. 332

∴R3＝18，则R＝3， 3

∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A. 11．【答案】C

z2i，z(1i)(2i)3i，选D． 1i

12．【答案】A

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【解析】

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）

13．【答案】(-2,1)

【解析】函数f(x)在[0,+?)递增，当x<0时，2-x2>0，解得-2x，

2解得0?x1，综上所述，不等式f(2-x)>f(x)的解集为(-2,1)．

14．【答案】B 【

解

析

】

15．【答案】

【解析】（2a＋b）·a＝（2，－2＋t）·（1，－1） ＝2×1＋（－2＋t）·（－1） ＝4－t＝2，∴t＝2. 答案：2

16．【答案】(1,2)，(,5).

【解析】将圆的一般方程化为标准方程，(x1)(y2)5m，∴圆心坐标(1,2)， 而5m0m5，∴m的范围是(,5)，故填：(1,2)，(,5).

22三、解答题（本大共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．【答案】

【解析】（1）当cos C＝0时，sin C＝1，原不等式即为4x＋6≥0对一切实数x不恒成立.

cos C>0，当cos C≠0时，应有

2

Δ＝16sin C－24cos C≤0，

（4分）

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cos C>0，∴

2

2cosC＋3cos C－2≥0，

1解得cos C≥．

2

1

∵C是△ABC的内角，∴≤cos C<1. （6分）

2

1π

（2）∵023

π此时c＝a2＋b2－2abcos＝a2＋b2－ab，

3∴6＝a＋b＋c＝a＋b＋

a2＋b2－ab≥2ab＋

∴ab≤4（当且仅当a＝b时取“＝”）. （10分）

1π

∴S△ABC＝absin≤3（当且仅当a＝b时取“＝”）.

23此时，△ABC面积的最大值为3，△ABC为等边三角形. 18．【答案】 【解析】解：

（12分）

（8分）

2ab－ab＝3ab，

（1）可设P的坐标为（c，m）， c2m2

则2＋2＝1， ab

b2

∴m＝±，

a∵|PF|＝1 ，

即|m|＝1，∴b2＝a，①

又A，B的坐标分别为（－a，0），（a，0），

1

由kPA·kPB＝－得

2

22bbaa11·＝－，即b2＝a2，②

22c＋ac－a

由①②解得a＝2，b＝2，

x2y2∴椭圆C的方程为＋＝1.

42

1

（2）当l与y轴重合时（即斜率不存在），由（1）知点P的坐标为P（2，1），此时S△PMN＝×22×2＝

2

2.

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x2k2x2

当l不与y轴重合时，设其方程为y＝kx，代入C的方程得＋＝1，即x＝±42∴y＝±即M（∴|MN|＝ ＝42k1＋2k21＋2k

2

21＋2k

2

，

， ，2k1＋2k

），N（－21＋2k

，

－2k1＋2k

2

222

），

424k22＋2 1＋2k1＋2k

，

1＋k21＋2k2

|2k－1|11

点P（2，1）到l：kx－y＝0的距离d＝，∴S△PMN＝|MN|d＝·

22

k2＋14

1＋k2|2k－1|

· 1＋2k2k2＋1

2k2＋1－22k

1＋2k2

|2k－1|＝2·＝2

2

1＋2k＝2

22k1－， 1＋2k2

22k22k

当k＞0时，≤＝1，

1＋2k222k此时S≥0显然成立， 当k＝0时，S＝2.

－22k1＋2k2

当k＜0时，≤＝1，

1＋2k21＋2k2当且仅当2k2＝1，即k＝－

2

时，取等号． 2

此时S≤22，综上所述0≤S≤22. 即当k＝－

22时，△PMN的面积的最大值为22，此时l的方程为y＝－x. 22

19．【答案】（1）点P在直线上 （2）

化为直角坐标，得P（0，4）。

，

【解析】（1）把极坐标系下的点

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程

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所以点P在直线上，

（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为从而点Q到直线的距离为

，

，

20．【答案】

【解析】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得

P（A1）=0。1+0。2+0。3=0。6，P（A2）=0。1+0。4=0。5，

P（A1） ＞P（A2）, P（B2） ＞P（B1）,

甲应选择Li 乙应选择L2。

P（B1）=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8，P（B2）=0。1+0。4+0。4=0。9，

（2）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知

,又由题意知，A,B独立，

21．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.

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（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：ykxm代入 椭圆C的方程3x4y12中，得

22

(4k23)x28kmx4m2120

由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知， 64k2m24(4k23)(4m212)0，

22整理得m4k3 …………7分

|mk||mk|且d1，d2

221k1k1当k0时，设直线l2的倾斜角为，则d3|tan||d1d2|，即d3|d1d2| kdd2dd24|m|||1|∴(d1d2)d3(d1d2)|1 2kk1k22第 13 页，共 14 页

4|m|16 …………10分

1m231|m||m|422∵m4k3 ∴当k0时，|m|3 ∴|m|1143，∴(d1d2)d343……11分 3|m|332当k0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时d1d23，d32

∴(d1d2)d323243 …………12分

综上1、2可知，(d1d2)d3存在最大值，最大值为43 ……13分

22．【答案】（1）xx1或x1；（2）(,2]. 【解析】

试

题解析：（1）因为f(x)2x11，所以x12x11， 即x12x11，

当x1时，x12x11，∴x1，∴x1，从而x1；

1x1时，1x2x11，∴3x3，∴x1，从而不等式无解； 21当x时，1x2x11，∴x1，从而x1；

2综上，不等式的解集为xx1或x1.

当

（2）由x12xa1f(x)，得x1xa2xa1， 因为x1xaxax12xa1，

所以当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1； 当(x1)(xa)0时，x1xa2xa1

记不等式(x1)(xa)0的解集为A，则(2,1)A，故a2， 所以的取值范围是(,2].

考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论.

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