一、函数、导数 1、函数的单调性 1设那么 上是增函数; 上是减函数.
2设函数在某个区间内可导,若,则为增函数;若,则为减函数. 2、函数的奇偶性
对于定义域内任意的,都有,则是偶函数; 对于定义域内任意的,都有,则是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称。 3、函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率,相应的切线方程是.
*二次函数: (1)顶点坐标为;(2)焦点的坐标为 4、几种常见函数的导数 ①;②; ③;④; ⑤;⑥; ⑦;⑧ 5、导数的运算法则 (1)(2)(3).
6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数的极值的方法是:解方程.当时:
1 如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值; 2 如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值. 指数函数、对数函数 分数指数幂 1(,且). 2(,且). 根式的性质 (1)当为奇数时,; 当为偶数时,. 有理指数幂的运算性质 1 2 3.
注: 若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用.
.指数式与对数式的互化式: .对数的换底公式 : ,且,,且, . 对数恒等式:,且, . 推论 ,且, .
常见的函数图象
二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量 8、同角三角函数的基本关系式
,.
9、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 的正弦、余弦,等于的同名函数,前面加上把看成锐角时该函数的符号;
的正弦、余弦,等于的余名函数,前面加上把看成锐角时该函数的符号。
,,. ,,. ,,. ,,.
口诀:函数名称不变,符号看象限. ,.,.
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.
10、和角与差角公式 ; ; .
11、二倍角公式 . . .
公式变形: 12、 函数的图象变换
①的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
②数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数
的图象;再将函数的图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象.
13. 正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:图象 定义域 值域 最值 当时,;当 时,. 当时, ;当
时,. 既无最大值也无最小值 周期性
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 上是增函数;在
上是减函数. 在上是增函数;在 上是减函数. 在
上是增函数. 对称性 对称中心 对称轴 对称中心 对称轴 对称中心 无对称轴 14、辅助角公式 其中
15.正弦定理?:(R为外接圆的半径).
16.余弦定理 ;;. 17.面积定理
(1)(分别表示a、b、c边上的高). (2).
18、三角形内角和定理 在△ABC中,有 .
19、与的数量积或内积
20、平面向量的坐标运算 1设A,B,则. 2设,,则.
3设,则
21、两向量的夹角公式 设,,且,则 ,.
22、向量的平行与垂直 设,,且
*平面向量的坐标运算 1设,,则+.
2设,,则- 3设A,B,则. 4设,则. 5设,,则?. 三、数列
23、数列的通项公式与前n项的和的关系 数列的前n项的和为. 24、等差数列的通项公式 ;
25、等差数列其前n项和公式为 .
26、等比数列的通项公式 ;
27、等比数列前n项的和公式为 或四、不等式
28、。必须满足一正(都是正数)、二定(是定值或者是定值)、三相等(时等号成立)才可以使用该不等式)
(1)若积是定值,则当时和有最小值; (2)若和是定值,则当时积有最大值. 五、解析几何 29、直线的五种方程
(1)点斜式 直线过点,且斜率为. (2)斜截式 b为直线在y轴上的截距. (3)两点式 、 .
4截距式 分别为直线的横、纵截距, (5)一般式 其中A、B不同时为0. 30、两条直线的平行和垂直 若, ①; ②.
31、平面两点间的距离公式 A,B.
32、点到直线的距离 点,直线:. 33、 圆的三种方程
(1)圆的标准方程 (2)圆的一般方程 >0.
(3)圆的参数方程 * 点与圆的位置关系:点与圆的位置关系
有三种
若,则点在圆外;点在圆上;点在圆内. 34、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系有三种: ; ; . 弦长 其中.
35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆:,,离心率1,参数方程是. 双曲线:a0,b0,,离心率,渐近线方程是.
抛物线:,焦点,准线。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.
36、双曲线的方程与渐近线方程的关系
1)若双曲线方程为渐近线方程: 2若渐近线方程为双曲线可设为 3若双曲线与有公共渐近线,可设为(,焦点在x轴上,,焦点在y轴上).
37、抛物线的焦半径公式
抛物线焦半径.(抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。)
38、过抛物线焦点的弦长.
六、立体几何
39.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行.
40.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行.
41.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直.
42.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 43.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 44.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直;
45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式 圆柱侧面积,表面积 圆椎侧面积,表面积
(是柱体的底面积、是柱体的高). (是锥体的底面积、是锥体的高). 球的半径是,则其体积,其表面积. 46、若点A,点B,则
47、点到平面距离的计算(定义法、等体积法)
48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质:侧棱平行且相等,与底面垂直。
正棱锥的性质:侧棱相等,顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
七、概率统计
49、平均数、方差、标准差的计算 平均数:方差: 标准差:
50、回归直线方程 (了解即可) ,其中.经过(,)点。 51、独立性检验 (了解即可)
52、古典概型的计算(必须要用列举法、列表法、树状图的方法把所有基本事件表示出来,不重复、不遗漏)
八、复数
53、复数的除法运算 .
54、复数的模. 55、复数的相等:.() 56、复数的模(或绝对值). 57、复数的四则运算法则 1; 2; 3; 4.
58、复数的乘法的运算律 对于任何,有
交换律:. 结合律:. 分配律:
九、参数方程、极坐标化成直角坐标 55、
十、命题、充要条件
充要条件(记表示条件,表示结论) (1)充分条件:若,则是充分条件.
(2)必要条件:若,则是必要条件. (3)充要条件:若,且,则是充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
56.真值表
p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假
十一、直线与平面的位置关系 空间点、直线、平面之间的位置关系 三个公理:
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内
(2)公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 (3)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;
平行直线:同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。 2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
4 注意点:
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定,与O的选择无关,为简便,点O一般取在两直线中的一条上;
② 两条异面直线所成的角θ∈;
③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a⊥b;
④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 ?? 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 ?? 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 ?? 没有公共点 直线、平面平行的判定及其性质 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
2、判断两平面平行的方法有三种: (1)用定义; (2)判定定理;
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。 直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与
此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
直线、平面垂直的判定及其性质 直线与平面垂直的判定
1、定义:如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A 梭 l β B α
2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理: 两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
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