维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２年第８期 数学学习与研究 由 ６ ＋５）一 ）＝０得： ＝＋３）一 ÷）： （ ＋３））＜２ｆ（６）， 所以有 ：＋３ｘ）一 ６）＜ ６）， ６ｘ＋５＝ ＝一１： Ｃ ＯＰｆ（ｘ下￣＋３ｘ）＜ ６）－， 当ｘ（６ｘ＋５）＜ｏ，即一音＜ ＜０时， 由 ６ ＋５）一 ）＝０得： 由于 ）在Ｒ 上是减函数， ｒ ＋３＞Ｏ ＋（６ ＋５）＝０＝ ＝一÷； ， 所以有 【下ｘ２＋３ｘ ６ ｈ ｛ ！ ６ 。 ｏ 堕 Ｃ 因此，所求 的值为一１或一÷． ， 小结：关于抽象函数的求解，常常用到以下思 路： ①考虑用 （或ｔ）的代数式代换ｔ（或ｘ）．以 寻求新的关系式． ②考虑特定的变量值．如 ＝Ｏ，±１等代入． 利用函数的单调性或奇偶性以及图象上点的 单值对应，由函数值相等（相反）来确定自变量相 等或相反，以获得所求值． ③若两个变量同时出现，除了用上述代换外， 还应考虑代换 Ｙ＝０， —Ｙ＝０， Ｙ＝±１，以及 倒数关系等的代换，以图由多个变量转化为单个 变量的关系式． 例９已知 值． ）为Ｒ上的偶函数，且ｆ（ ）在 Ｒ 上为单调递减，若 ６ ＋５）一 ）＝０，求 的 解因为ｆ（ ）为尺上的偶函数，且ｆ（ ）在 Ｃ ④根据具体的关系式、特征及所求式的结构 而决定进行适当的代换． 因此，总体而言，对抽象函数问题的求解，应 仔细观察其整体结构和特征，采取适当换元或代 Ｒ’上为单调递减，所以厂（ ）在Ｒ 上为单调递增． 当 （６ｘ＋５）＞０，目ｐ ＜一— 或 ＞０时， 换、赋值，则问题易获解， 函数的对称性 （黑龙江省齐齐哈尔市第一中学 １６１００５） 沈 杰 张永泽 王雪巍 同题提出： 称．即一个函数自身的对称性与两个函数的对称 ）＝ 一 ），则函数 性是有区别的，因此有必要研究函数自身的对称 性和两个函数的对称性． 一一１．函数），＝ ）满足 Ｙ＝ ）的图象关于直线 ＝ｏ（ｒ轴）对称； 函数Ｙ＝ ）与函数Ｙ＝ 一 ）的图象也关 ＋ａ）＝ ０一 ），则 、个函数自身的对称性 ）满足 于直线ｘ＝０（Ｙ轴）对称． ２．函数Ｙ＝ ｘ）满足 定理１函数Ｙ＝ ａ＋ ）＝ ｂ— ）（ａ，ｂ为常数） 函数Ｙ＝＿厂（ ）的图象关于直线 ：ｎ对称： 函数Ｙ＝ （ ＋ｎ）与函数Ｙ＝ （ｎ— ）的图象 还是关于直线 ＝ａ对称吗？ 的充要条件是函数Ｙ＝ 对称． ）的图象关于直线 ＝ 回答是否定的，而是关于直线 ＝０（），轴）对 ・证明必要性设点Ｐ，（ ，），。）为函数），＝ ８・ 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２年第８期 Ｉ ）图象上任意一点，则Ｙ ＝ ），点Ｐ，（ ．，Ｙ－） 关于直线 ＝ ｝鱼对称点是点 （ ：，Ｙｚ），有 ｌ＋ ： 口＋ｂ Ｙｌ Ｙ２，丁 丁， 即 ！＝Ⅱ＋ｂ— １． ’．’Ｙ１＝八 １） ＝．，【ｎ＋（ ｌ一Ⅱ）］ ＝ ｂ一（ 一ｏ）］ ＝ Ⅱ＋ｂ—ｘ，） ＝ ）， ・．． ：）＝）， ，即点 （ ！， ）在函数Ｙ＝ ） 的图象上． 故函数Ｙ＝ ）的图象关于直线 ＝ 对 称． 充分性设点Ｐ．（ ，，Ｙ ）为函数Ｙ＝ ）图 象上任意一点，则Ｙ ＝ ，），点Ｐ （ ，，Ｙ ）关于直 线 ＝Ⅱ＿ 的对称点是点Ｐ１（ ！，Ｙ２），有 Ｙｌ： ，，兰丁学 丁，＝ ， ３即 ３＝Ⅱ＋６一 。 ０一 ・’．点Ｐ！（ ！，），：）在函数），＝ ）的图象上， 即儿＝八 ）， ‘．． ，）＝ ）， ￣ｌＪＪ（ １）＝ ｎ＋ｂ— １）． 令６一 Ｉ＝ ，贝４ ｌ＝ｂ— ， ’．． ６一 ）＝ ｎ＋ ）， 故Ｙ＝ ）满足 ｂ— ）： ｎ＋ ）． 理解记忆因为 ｏ＋ ）＝ ｂ— ），所以 ｏ＋ 、６一 的函数值已经相等都为），，若想对称它 的对称轴一定是过点（ｏ＋ ，Ｙ）与点（ｂ— ，Ｙ）的 中点，且与 轴垂直的直线，即函数Ｙ＝Ｊｒ（ ）的对 称轴是 ： ： ａ＋ ｂ． 推论１函数Ｙ： ｘ）满足 ｘ）： 一 ）的 充要条件是函数Ｙ＝ ）的图象关于直线 ＝０（Ｙ 轴）对称： 推论２函数Ｙ＝ ｘ）满足 ｎ＋ｘ）＝ ｎ— ）的充要条件是函数），＝ ）的图象关于直线 ＝Ⅱ对称： 推论３函数Ｙ＝，（ ）满足，（ ）＝ ２ａ— ） 的充要条件是函数Ｙ＝ ）的图象关于直线 ＝ｏ 数学学习与研究 对称． 定理２函数Ｙ＝ ）满足 ｆ（ａ＋ ）＝一 ｂ— ）＋ｍ（ａ，ｂ，，，Ｉ为常数） 的充要条件是函数Ｙ＝ ）的图象关于点 （ ，詈）对称． 证明必要性设点Ｐ．（ ，Ｙ１）为函数Ｙ＝ ）图象上任意一点，则Ｙ，＝ ．），点Ｐ．（ ．，Ｙ。） 关于点（ ，詈）的对称点是点ＪＰ （ ），有 一 ２ —２’ ！± ２ ２’ 即 ２＝口＋ｂ— ｌ，Ｙ１＝，，ｌ—Ｙ ‘．’Ｙｌ＝ １） ＝ ｎ＋（ Ｉ—ｎ）］ ＝一 ｂ一（ ｌ一Ⅱ）］＋，，Ｉ ＝一 Ⅱ＋ｂ— １）＋，，Ｉ， ‘．．，，Ｉ—Ｙ：＝一 ：）＋，，Ｉ， ・．．Ｙ２＝ ：），即点 （ ，Ｙ：）在函数Ｙ＝ ） 的图象上，故函数Ｙ＝ ）的图象关于点 （ ，詈）对称． 充分性设点Ｐ，（ ，，Ｙ，）为函数Ｙ＝ ｘ）图 象上任意一点，则Ｙ，＝ ），点Ｐ，（ ，，Ｙ．）关于点 （ ， ｍ）的对称点是点 （ ：， ），有 ｉ＋ ， ｎ＋ｂ Ｙｌ＋），， ，，Ｉ Ｔ 丁，丁 ， 即 ＝Ⅱ＋ｂ— ｌ，Ｙ！＝，，Ｉ—Ｙｌ ・‘．函数），＝ｆ（ｘ）的图象关于点（ ，詈）对 称，．・．点Ｐ！（ ， ）在函数Ｙ＝ ）的图象上， 即Ｙ ： ：）， ‘．．，，Ｉ—Ｙｌ＝ 口＋ｂ— １）且Ｙｌ＝ １）， 令ｂ— Ｉ＝ ，则 ｌ：６一 ， ‘．．ｍ－ｆ（ｂ—ｘ）： Ⅱ＋ ）． 故Ｙ＝ ）满足 Ⅱ＋ ）＝，，Ｉ一 ｂ— ）． 推论１函数Ｙ＝ ）满足 ）＝一 一 ） 的充要条件是函数Ｙ＝ ｘ）的图象关于点（０，０） （原点）对称； 推论２函数Ｙ＝Ｊｒ（ ）满足 ，（Ⅱ＋ ）＝－ｆ（Ⅱ一ｘ） 的充要条件是函数Ｙ＝Ｊｒ（ ）的图象关于点（ｏ，０） ・９・ 维普资讯 http://www.cqvip.com ２００２年第８期 对称： 数学学习与研究 推论２函数Ｙ＝＿厂（ ＋ａ）与函数Ｙ＝－厂（口一 ） 的图象关于直线 ＝Ｏ（ｙ轴）对称； 推论３函数Ｙ－－ｆ（ ）与函数Ｙ＝＿厂（２ａ— ）的 图象关于直线 ；ａ对称． 定理４函数Ｙ＝＿厂（ａ＋ ）＋，，Ｉ的图象与函数 Ｙ＝一 ｂ— ）＋ｎ（ａ，６，，，Ｉ，ｎ为常数） 的图象关于点（ ， ）对称． 推论３函数Ｙ＝＿厂（ ）满足 －厂（ ）＝一 ２口一 ） 的充要条件是函数Ｙ＝ 对称： ）的图象关于点（口，０） 推论４函数Ｙ＝＿厂（ ）满足 ＿，（ａ＋ ）＝－ｆ（ｂ— ）（口，ｂ为常数）， 则函数Ｙ＝ ）的图象关于点（＿ａ＋ ＿；ｂ０）对称（仿 ，轴对称进行理解记忆）． 二、两个函数的对称性． 定理３函数Ｙ＝＿厂（ ＋ａ）的图象与函数Ｙ＝ ｂ— ）（口，ｂ为常数）的图象关于直线 ＝ 对 称． 证明点Ｐｌ（ ，ｙＩ）为函数Ｙ＝ ＋ａ）图象 上任意一点，则Ｙ。＝ 。＋口），点ＰＩ（ ，，），Ｉ）关于 直线 ＝ 的对称点是点Ｐ！（ ：，Ｙ ），有 Ｙ Ｊ Ｙ２＝ ’， —— —一 — ： ，ｌ，即：ｐ ＂ｇ Ｌ ｂ—ａ ：ｂ一一 ２．・ ’．‘），Ｉ＝ Ｉ＋口） ＝ ｂ一口一 ２＋口］ ＝－，（ｂ— ２） ＝ ：）， ‘．．Ｙ：＝ ｂ— ：），即点Ｐ：（ ，Ｙ！）在函数Ｙ＝ ｂ— ）的图象上．同理可证函数Ｙ＝ ｂ— ）的 图象上任意一点关于直线 ＝ 的对称点也均 在函数ｙ＝－厂（ ＋ａ）的图象上． 故函数Ｙ＝＿厂（ ＋ａ）的图象与函数 ，，＝－厂（ｂ— ） 的图象关于直线 ＝ 对称． 理解记忆因为ａ＋ｘ．ｂ— 的函数值 －厂（ａ＋ ）与 ｂ— ）不知道是否相等，若想对称必 须－厂（ａ＋ ）与＿厂（ｂ— ）相等，只须ａ＋ ＝ｂ— ，即 ＝（ｂ—ａ）／２时一定有－厂（ａ＋ ）＝＿厂（ｂ一 ），所以函 数Ｙ＝－厂（ ＋ａ）与函数Ｙ＝ ｂ— ）的图象关于直 线 ＝ 对称． 推论１ 函数Ｙ＝ ）与函数Ｙ＝ 一ｘ）的图 象关于直线 ＝０（），轴）对称； ・１０・ 证明设点Ｐ，（ Ｉ，Ｙ。）为函数Ｙ＝ ＋ｏ）图 象上任意一点，则Ｙ。＝－厂（ ，＋口）＋ｍ， 点Ｐ，（ 。，，，，）关于点（ ， ）的对称点是点 Ｐ！（ ：，Ｙ：），有 ｌ＋ ， ｂ—ａ Ｙ，＋Ｙ， ｍ＋ｎ 丁 丁，丁 丁， 即 Ｉ ｂ—ａ— ，Ｙｌ＝，，Ｉ＋ｎ—Ｙ： ‘．。Ｙ１＝ ｌ＋ａ）＋ｍ ＝ ｂ—ａ— ：＋ｎ）＋，，Ｉ ＝－厂（ｂ— ２）＋，，Ｉ， ‘．．，，Ｉ＋ｎ—Ｙ ＝ ｂ— ：）＋ｍ， ． ．Ｙ２＝一 ｂ— ）＋ｎ， 即点Ｐ２（ ：， ）在函数Ｙ：一／（ｂ— ）＋ｎ的 图象上．同理可证函数Ｙ＝一－厂（ｂ— ）＋ｎ的图象 上任意一点关于点（ ． ，ｍ，＋，ｎ３，的对称点也均在 － 函数Ｙ＝ ｘ＋ａ）＋ｍ的图象上， 故函数Ｙ＝＿厂（ ＋ａ）＋，，Ｉ的图象与函数 Ｙ＝一＿厂（ｂ— ）＋ｎ 的图象关于点（ ，ｍ下＋ｎ）对称． 推论１函数Ｙ＝－厂（ ）与函数Ｙ＝一．厂（一 ）的 图象关于点（０，０）（原点）对称： 推论２函数Ｙ＝＿厂（ ＋ａ）与函数 Ｙ＝－ｆ（ａ— ） 的图象关于点（０，０）（原点）对称； 推论３函数Ｙ＝＿厂（ ）与函数 Ｙ＝－ｆ（２ａ— ） 的图象关于点（ａ，Ｏ）对称； 推论４函数Ｙ＝ ＋口）与函数 ），＝－ｆ（ｂ一 ）（口，ｂ为常数） 的图象关于点（ ，０）对称． 厶 （仿轴对称进行理解记忆）．