2016全国2卷高考文科数学试卷及答案

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24题，共150分

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1,2,3，Bxx9（1）已知集合A2，则AB

（A）2,1,0,1,2,3 （B）1,0,1,2 （C）1,2,3 （D）1,2

（2）设复数z满足zi3i，则z

（A）12i （B）12i （C）32i （D）32i

（3） 函数yAsin(x)的部分图像如图所示，则

y2（A）y2sin(2x) （B）y2sin(2x)

63-π6Oπ3x（C）y2sin(2x) （D）y2sin(2x)

63-2（4）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该

球面的表面积为

32 （C）8 （D）4 3（A）12 （B）

（5）设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFxkx轴，则k

（A） （B）1 （C） （D）

2

22（6）圆xy2x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a

1232A）3 （B）34

（C）3 （D）（7）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体

三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

234442

的

（（8） 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40

秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为

（A）

7533 （B） （C） （D） 108810（9）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.

执行该程序框图，若输入的x2，n2,依次输入的a为2，2，5，则输出的s

（A）7 （B）12 （C）17 （D）34

（10）下列函数中，其定义域和值域分别与函数y10lgx的定义域和值域相同

的是

1x（A）yx （B）ylgx （C）y2x （D）y

（ （11）函数f(x)cos 2 x6 cosx）的最大值为 2（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

（12）已知函数f(x) (xR)满足f(x)f(2x)，若函数yx2x3与yf(x)2图像的交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym)，则xi

i1m（A）0 （B）m （C）2m （D）4m

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。第(22)～(24)题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量

a(m,4)，b(3,2)，且a∥b，则m ．

xy10,（14）若x,y满足约束条件xy30,则zx2y的最小值为 ．

x30,（15）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若cosA45,cosC,a1，则513b ．

（16）有三张卡片，分别写有

1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取

走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分

12分）

等差数列an中，且a3a44，a5a76． （Ⅰ）求an的通项公式；

（Ⅱ）记bnan，求数列bn的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90，2.62．

（18）（本小题满分

12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：

上年度出险次数 保 费 随机调查了设该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数 概 数 （Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P(A)的估计值；

（Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P(B)的估计值；

（Ⅲ）求续保人本年度平均保费的估计值．

（19）（本小题满分

12分）

如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E,F分别在AD,CD上，

AECF，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△DEF的位置.

（Ⅰ）证明：ACHD；

（Ⅱ）若AB5，AC6，AE5，OD22，求五棱锥DABCFE的体积．

4（20）（本小题满分

12分）

已知函数f(x)(x1)lnxa (x1)．

（Ⅰ）当a4时，求曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）若当x(1,)时，f(x)0，求a的取值范围．

（21）（本小题满分

12分）

x2y2已知A是椭圆E：1的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A,M两点，

43点N在E上，MANA.

（Ⅰ）当AMAN时，求△AMN的面积； （Ⅱ）当2AMAN时，证明：3k2.

请考生在第（22）～（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（22）（本小题满分

10分）选修4-1：几何证明选讲

G如图，在正方形ABCD中，E,G分别在边DA,DC上与端点重合），且DEDG,过D点作DFCE,垂足为

（Ⅰ）证明：B,C,G,F四点共圆；

DC（不

F.

EFAB（Ⅱ）若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.

（23）（本小题满分

10分）选修4-4：坐标系与参数方程

22(x6)y25. xOy在直角坐标系中，圆C的方程为

（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

xtcos,（t为参数），l与C交于A,B两点，

ytsin,（Ⅱ）直线l的参数方程是AB10，求l的斜率.

（24）（本小题满分

10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f(x)x11x，M为不等式f(x)2的解集. 22（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）证明：当a,bM时，ab1ab.

2016年全国卷Ⅱ高考数学（文科）答案

一. 选择题

（1）D （2）C （3） A （4） A （5） D （6） A （7） C （8） B （9） C （10） D （11） B （12） B 二．填空题

(13) 6 (14) 5 （15）

21（16）1和3

13

三、解答题

（17）(本小题满分12分)

(Ⅰ)设数列an的公差为d，由题意有2a15d4,a15d3，解得a11,d， 所以an的通项公式为an（Ⅱ）由(Ⅰ)知bn当n=1,2,3时，1当n=4,5时，22n3. 5252n3， 52n32,bn1； 52n33,bn2； 5当n=6,7,8时，3当n=9,10时，42n34,bn3； 52n35,bn4， 5所以数列bn的前10项和为1322334224. （18）(本小题满分12分)

(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为

60500.55， 200故P(A)的估计值为0.55.

（Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年

内出险次数大于1且小于4的频率为故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为：

30300.3， 200保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查200名续保人的平均保费为

0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101.1925a，

因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. （19）（本小题满分12分）

（I）由已知得，ACBD,ADCD.

又由AECF得

AECF，故AC//EF. ADCD由此得EFHD,EFHD，所以AC//HD.. （II）由EF//AC得

OHAE1. DOAD4由AB5,AC6得DOBOAB2AO24. 所以OH1,DHDH3.

于是OD2OH2(22)2129DH2,故ODOH.

由（I）知ACHD，又ACBD,BDIHDH， 所以AC平面BHD,于是ACOD.

又由ODOH,ACIOHO，所以，OD平面ABC. 又由

EFDH9得EF. ACDO212192269. 4五边形ABCFE的面积S683所以五棱锥D'ABCEF体积V16923222. 342（20）（本小题满分12分）

（I）f(x)的定义域为(0,).当a4时，

f(x)(x1)lnx4(x1),f(x)lnx13，f(1)2,f(1)0.曲线yf(x)在(1,f(1))处的x切线方程为2xy20.

（II）当x(1,)时，f(x)0等价于lnx令g(x)lnxa(x1)，则 x1a(x1)0. x112ax22(1a)x1g(x),g(1)0， 22x(x1)x(x1)（i）当a2，x(1,)时，x22(1a)x1x22x10，故g(x)0,g(x)在x(1,)上单调递增，因此g(x)0； （ii）当a2时，令g(x)0得

x1a1(a1)21,x2a1(a1)21，

由x21和x1x21得x11，故当x(1,x2)时，g(x)0，g(x)在x(1,x2)单调递减，因此g(x)0.

综上，a的取值范围是,2. （21）（本小题满分12分）

（Ⅰ）设M(x1,y1)，则由题意知y10.

由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为， 又A(2,0)，因此直线AM的方程为yx2.

x2y2将xy2代入1得7y212y0，

434解得y0或y1212，所以y1. 77因此AMN的面积SAMN211212144. 27749x2y2（II）将直线AM的方程yk(x2)(k0)代入1得

43(34k2)x216k2x16k2120.

121k216k2122(34k2)2由x1(2)得x1，故|AM|1k|x12|. 22234k34k34k12k1k21由题设，直线AN的方程为y(x2)，故同理可得|AN|.

43k2k由2|AM||AN|得

2k，即4k36k23k80. 2234k43k设f(t)4t36t23t8，则k是f(t)的零点，f'(t)12t212t33(2t1)20，

所以f(t)在(0,)单调递增，又f(3)153260,f(2)60，

因此f(t)在(0,)有唯一的零点，且零点k在(3,2)内，所以3k2. （22）（本小题满分10分）

（I）因为DFEC,所以DEFCDF,

则有GDFDEFFCB,DFCFDEDGCDCB, 所以DGFCBF,由此可得DGFCBF, 由此CGFCBF1800,所以B,C,G,F四点共圆.

（II）由B,C,G,F四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB， 由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC,故

RtBCGRtBFG,

因此四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍，（23）（本小题满分10分）

（I）由xcos,ysin可得C的极坐标方程212cos110. （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R) 由A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得于是1212cos,1211,

即

由|AB|10得cos2,tan3815， 3所以l的斜率为1515或. 33（24）（本小题满分10分）

12121212（I）先去掉绝对值，再分x，x和x三种情况解不等式，即可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a，b时，ab1ab．

12x,x,211试题解析：（I）f(x)1,x, 2212x,x.2当x时，由f(x)2得2x2,解得x1；

12当x时，f(x)2；

1212当x时，由f(x)2得2x2,解得x1.

12所以f(x)2的解集M{x|1x1}.

（II）由（I）知，当a,bM时，1a1,1b1，从而

(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，

因此|ab||1ab|.

成功就是先制定一个有价值的目标，然后逐步把它转化成现实的过程。这个过

程因为信念而牢固，因为平衡而持久。 生活才需要目标，生命不需要目标。

就像驴子面前吊着个萝卜就会往前走。正因为有那个目标，你才有劲儿往前走。在做的过程中，你已体验到生命是什么。问题是，没有几个人，能够在没有目

标的情况下安详当下。因为没有目标，他都不知道要做什么。

穷人生活的成本，要比富人高多了。

穷人考虑价钱而不考虑价值，最后什么都得不到。 富人考虑价值并且果断决定，于是他获得了最好的机会。

这就是为什么穷人越穷，富人越富的原因。

2020-2-8