数理统计课程设计(一元线性回归)

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二氧化碳吸附量与活性炭孔隙结构的线性回归分析

摘要：本文搜集了不同孔径下不同孔容的活性炭与CO2吸附量的实验数据。分别以同一孔径下的不同孔容作为自变量，CO2吸附量作为因变量，作出散点图。选取分布大致呈直线的一组数据为拟合的样本数据。对样本数据利用最小二乘法进行回归分析，参数确定，并对分析结果进行显著性检验。同时利用matlab的regress函数进行直线拟合。结果表明:孔径在3. 0～ 3. 5 nm之间的孔容和CO2吸附量之间存在较好的线性关系。

关键字：活性炭 孔容 CO2吸附量 matlab

一、问题分析

1.1.数据的收集和处理

本文主要研究同一孔径的孔容的活性炭和co2吸附量之间的线性关系，有关实验数据是借鉴张双全，罗雪岭等人的研究成果[1]。以太西无烟煤为原料、硝酸钾为添加剂,将煤粉、添加剂和煤焦油经过充分混合后挤压成条状,在600℃下炭化15 min,然后用水蒸气分别在920℃和860℃下活化一定时间得到2组活性炭,测定了CO2吸附等温线,探讨了2组不同工艺制备的活性炭的CO2吸附量和孔容的关系.数据如下表所示：

编号

11孔容/(10Lg)

CO2吸附量

/(mLg1)

0.5~0.8nm 0.8~1.2nm 1.2~1.8nm 1.8~2.2nm 2.2~2.2nm 2.5~3.0nm 3.0~3.5nm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

7.18 6.59 4.54 5.13 4.16 4.92 5.08 5.29 7.47 5.44 1.81 1.24

16.2 14.4 11 13.4 10.5 12.1 12.6 13 16.9 13 64.6 27.7

24.4 75.2 70 96 115 18.4 53.7 50 85.6 91 18.9 71 65 78.3 91 29.9 10.3 90 76 122 18.9 83.8 78 80.5 113 23.4 81.6 72 56 99 23.8 93.5 86 77.8 122 25.1 88.4 69 66.4 107 26.9 46.4 78 93.2 107 21.4 44.1 91 98.6 137 18.3 53.1 114 110 142 39.5 126 114 98.6 183 表1：孔分布与CO2吸附值

编号1~12是在不同添加剂量，温度，活化时间处理下的对照组。因为处理方式不同得到不同结果是互不影响的，可以看出CO2的吸附量的值是互相独立的。我们将不同孔径下的孔容分为1~7组。

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word . .

64 55.1 53.7 53.7 61.7 53.6 65.5 57.7 58.2 76.6 75 98.7

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作出不同孔径下与CO2吸附量的散点图如下：

100CO2吸附量CO2吸附量10080604010100CO2吸附量806040024孔容68203040孔容506070100CO2吸附量806040151002025孔容303540806040050孔容100100150CO2吸附量CO2吸附量806040401006080孔容10012080604050607080孔容90100110CO2吸附量80604080100120140孔容160180200

图1：不同孔容与CO2吸附量的散点图

图1中从左往右依次是第1到第7组孔容，从图中可以看出第五、六、七组的点大致分散在一条直线附近，说明两个变量之间有一定的线性相关关系。且自变量的变化导致因变量CO2的浓度变化，因变量变化具有独立性。我们就选取第七组的数据进行回归分析。

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word . .

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二、问题假设

1.假设误差分布服从正态分布。 2.为了简化模型，便于回归分析，我们不考虑实验中各种因素对活性炭吸附的影响，考虑孔容与co2吸附量的数据之间的线性关系。

三、模型建立

3.1.回归参数的引进

回归函数yf(x)E(Y|Xx)是线性函数的回归分析称为线性回归，当可控制变量只有一个时，即回归函数为yf(x)01x，那么

Y01x N(0,2)

(1)

称为一元线性回归模型，上式称为Y对x的一元线性回归方程或者一元线性回归直线，0、1称为回归系数，常数0、1、2均未知。 3.2回归方程的构建

由于总体回归方程yf(x)01x中的参数0、1在实际中并不知

ˆ，ˆ，从而得到样本回归道，需要通过样本值对它们进行估计，得到估计值01ˆˆx，此样本方程可用作总体回归方程yf(x)E(Y|Xx)的估方程Y01计。

通常可用最小二乘法估计得到公式

由于总体回归方程yf(x)01x中的参数0、1在实际中并不知

ˆ，ˆ，从而得到样本回归道，需要通过样本值对它们进行估计，得到估计值01ˆˆx，此样本方程可用作总体回归方程yf(x)E(Y|Xx)的估方程Y01计。

通常可用最小二乘法估计得到公式

n(xix)(yiy) i1ˆ1n(2) (xix)2  i1ˆˆ 0y1x

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word . .

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1n1n其xxi，yyi,记

ni1ni1lxyxiyi12xyi112

ˆ2l SeSTSRlxx2xx可得

= ,

ˆl/l1xyxxlxxxi12x2i1122

lyyyi212y2i112ˆx 0y1

Se2n2ˆ1lxy/lxxˆˆ0y1x(3)

2.3求一定孔容下的CO2的吸附量的回归直线方程

利用matlab对数据进行计算，结果如下表所示:

实验编号

孔容xi

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

115 91 91 122 113 99 122 107 107 137 142 183 1429

CO2吸附量

yi

xi2 yi2

xiyi

13225 8281 8281 14884 12769 9801 14884 11449 11449 18769 20164 33489 177445

4096 3036.01 2883.69 2883.69 3806.89 2872.96 4290.25 3329.29 3387.24 5867.56 5625 9741.69 51820.27

7360 5014.1 4886.7 6551.4 6972.1 5306.4 7991 6173.9 6227.4 10494.2 10650 18062.1 95689.3

64 55.1 53.7 53.7 61.7 53.6 65.5 57.7 58.2 76.6 75 98.7 773.5

表2：孔容与C02吸附度的回归计算

讲结果代入上上述公式可得下列计算表：

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word . .

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xi=1429.00

x=119.08

n=12

yi=773.50

y=64.46

x2i=177445.00

xy=95689.30

iiy2i=51820.27

nx2=2129340.00

nxy=1148271.60

ny2=621843.24 lyy=1961.75

lxx=7274.92 Se=201.66

lxy=3578.34

2=63.77

1lxy/lxx=0.49

ˆ=5.88 0yx1

表3：回归参数的计算表

由此可得线性回归方程为：

四、回归方程的显著性检验

对回归方程是否有意义做判断就是对如下的检验问题做出判断：

H0:10y0.49x5.88 （4）

vs H1:10

（5）

拒绝域H0表示回归方程是显著的。利用F检验对参数进行检验。经计算有

STlyy63.77

fT11fR1

（6） （7）

SR12lxx48.42

SeSTSR15.35

fe10

（8）

4.1F值检验

取显著水平α=0.05，其拒绝域为：

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word . .

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FF1(1,10)

查表可得拒绝域的值为：F4.96 计算得FSR87.28，远远大于F的临界值，说明拒绝原假设，原

Se/(n2)假设不成立，自变量和因变量有着显著的线性关系。 4.2.p值检验

将（6)(7)(8)中的各平方和和自由度移入方差分析表，继续进行计算可得： 来源 平方和 自由度 均方 F比 P值 回归 1760.093 1 1760.093 87.282 0.000b 残差 201.656 10 20.166 总计 1961.749 11

这里p值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。

五、计算方法的涉及和计算机的实现

4.1用matlab拟合直线：

先将数据以txt格式保存，再用dlmread读取ASCII码文件。调用matlab中的regress多元线性回归函数（代码见附录），对12个样本数据进行拟合，作出散点图和直线拟合图在一张图上如下：

图2：孔容和CO2吸附量的直线拟合100959085CO2吸附量8075706560555090100110120130140孔容150160170180190

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word . .

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从图中可以看出样本点大致分布在直线附近,拟合效果比较好。 4.2直线参数的估计值的置信区间以及三种检验

利用regess函数求出参数的估计值和置信区间以及参数的检验统计量（设置α=0.05）如下：

图3：用matlab计算的参数值和检验值。

其中，R^2=0.8972指因变量（CO2吸附度）有89.7%可由模型确定，F的值远远超过F的临界值。P远小于α，因而模型从整体上看是可用的。

六、主要的结论

孔容和CO2吸附量之间存在线性关系,经过显著性检验,线性方程回归效果较好,即线性方程能基本描述孔径范围3. 0～ 3. 5 nm的活性炭孔容和CO2吸附量

七、参考文献

[1]张双全,罗雪岭,郭哲,董明建,岳晓明. CO2吸附量与活性炭孔隙结构线性关系的研究[J]. 中国矿业大学学报. 2008(04) 附录

Matlab制作散点图：

M=dlmread('co2.txt');%读取ASCII码文件 for i=1:1:7 subplot(4,2,i)

x1=M(:,i); y=M(:,8); plot(x1,y, 'bo');

xlabel('孔容'),ylabel('CO2吸附量'); end

Matlab直线拟合： clc; format short g;

M=dlmread('co2.txt');%读取ASCII码文件 x1=M(:,7); y=M(:,8); plot(x1,y, 'bo');

b=regress(y,[ones(size(x1)),x1]); % b=[β0 β1] '，列向量

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word . .

. . .

. .

x1=sort(x1); %按升序排序，用于画图 y=[ones(size(x1)),x1]*b;%使用矩阵乘法 hold on;

plot(x1,y, '-r');

title('图2：孔容和CO2吸附量的直线拟合') xlabel('孔容'); ylabel('CO2吸附量'); hold off;

Matlab参数估计：

clc; format compact; format short g; M=dlmread('co2.txt');%读取ASCII码文件 x1=M(:,7); y=M(:,8);

[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,[ones(size(x1)),x1],0.05); fprintf('%2s%5s%11s\\n','参数','估计值','置信区间');%1个汉字算1个字符 for i=1:length(b)

fprintf ('β%1d%9.4f [%7.4f, %7.4f]\\n',i-1,[b(i,:),bint(i,:)]); end % %d将i当整数输出，%7.4f按实数格式输出，区域宽7个字符，4位小数

fprintf('\\nR^2=%.4f F=%.4f p<%.4e s^2=%.4f\\n',stats);

.

word . .